Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 60 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 20 mm ve uzunluğu 1,5 m’dir. Serbest uç C’de 250 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 15 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_A değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 3 mP = 80 kN @ 3 mw = 8 kN/m, 0 ile 3 m arasında

M_A = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 10 mP = 45 kN @ 1 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 170 mm genişliğinde ve 20 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 480 mm ve gövdesi 10 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre eğilme için elastik kesit modülü S_x değerini bulun.

B = 170 mmH = 480 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 140 × 22 mm üst başlığı, 160 mm yüksekliğinde ve 8 mm kalınlığında gövdesi ve 220 × 24 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 140 × 22 mmgövde: 8 × 160 mmalt başlık: 220 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 400 N·m tork ile birlikte 750 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 5 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1632 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 60·1000/314,2 = 191 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 191/117000 = 0,001632 = 1632 µε

Cevap

ε = 1632 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 222,7 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0007) = 0,0007 (pirinç)

En büyük yük

P_max = 0,0007·3,181 × 10⁸ = 222660 N = 222,7 kN

Cevap

P_max = 222,7 kN

3.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 159,2 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Her parçadaki gerilme

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Cevap

τ_max = 159,2 MPa

4.Millerin burulması

Cevap: d = 23,49 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Cevap

d = 23,49 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_A = −276 kN·m

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −80·3 = −240 kN·m

w: −8·3²/2 = −36 kN·m

M_A = −240 − 36 = −276 kN·m

Cevap

M_A = −276 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 87,02 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·1 + 5·10·5

R_B = 295/10 = 29,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 29,5 = 65,5 kN

V = 0 nerede?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (65,5 − 45)/5 = 4,1 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 87,02 kN·m

Cevap

M_max = 87,02 kN·m

A’dan x = 4,1 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: S_x = 1796 × 10³ mm³

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 480 − 2·20 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·480³ − 160·440³)/12

I_x = 4,309 × 10⁸ mm⁴

Kesit modülü

c = H/2 = 240 mm

S_x = I/c = 4,309 × 10⁸/240

S_x = 1,796 × 10⁶ mm³ = 1796 × 10³ mm³

Cevap

S_x = 1796 × 10³ mm³

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 68,92 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 3080 mm², y = 195 mm

gövde: A = 1280 mm², y = 104 mm

alt başlık: A = 5280 mm², y = 12 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (3080·195 + 1280·104 + 5280·12)/9640 = 82,68 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 140·22³/12 + 3080·112,3² = 3,898 × 10⁷ mm⁴

gövde: 8·160³/12 + 1280·21,32² = 3,312 × 10⁶ mm⁴

alt başlık: 220·24³/12 + 5280·70,68² = 2,663 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,898 × 10⁷ + 3,312 × 10⁶ + 2,663 × 10⁷

I_x = 6,892 × 10⁷ mm⁴ = 68,92 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 68,92 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 14,53 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·50, 140 − −40) = 29,05°

Elemandaki açı

θ_p = 14,53°

Cevap

θ_p = 14,53°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 65,19 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 16,3²) = 34,63 MPa

σ₁ = C + R = 65,19 MPa

σ₂ = C − R = −4,074 MPa

Cevap

σ₁ = 65,19 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 7,843 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 7,843 mm

Cevap

δ_max = 7,843 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 9,375 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9,375 kN

Cevap

R_B = 9,375 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 30,08 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/3500² = 30079 N = 30,08 kN

Cevap

P_cr = 30,08 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,441 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Cevap

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials