Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 90 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 70 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 30 mm, iç çap 23 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 500 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 2 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 0 m60 kN @ 12 m15 kN @ 4 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 120 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 200 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 14 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 120 mmh = 200 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 25 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 25 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 6 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Açıklık ortasındaki sehim δ_mid değerini bulun.

P = 11 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,833 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 183,3/200000 = 0,0009167 = 916,7 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0009167·2000 mm = 1,833 mm

Cevap

δ = 1,833 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 222,8 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 222,8 MPa

Cevap

σ_max = 222,8 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 21,17 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Burulma açısı

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(26000·52048) = 0,3695 rad

φ = 0,3695·180/π = 21,17°

Cevap

φ = 21,17°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 34,13 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/466269 = 34,13 MPa

Cevap

τ_max = 34,13 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 54 kN, R₂ = 39 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 54, M_C = 102 kN·m, M_D = 93, M_E = 72, M_F = 39, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 102 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 20 kN, R₂ = 130 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −40, M_D = −120, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −240 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

iki kol: A₂ = 2·14·186 = 5208 mm², y₂ = 14 + 186/2 = 107 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1680·7 + 5208·107)/6888 = 82,61 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 120·14³/12 + 1680·(7 − 82,61)² = 9,632 × 10⁶ mm⁴

iki kol: 2·14·186³/12 + 5208·(107 − 82,61)² = 1,811 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,632 × 10⁶ + 1,811 × 10⁷

I_x = 2,774 × 10⁷ mm⁴ = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 19,53 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

gövde: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·295 + 3360·140)/11160 = 248,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 260·30³/12 + 7800·(295 − 248,3)² = 1,757 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·280³/12 + 3360·(140 − 248,3)² = 6,139 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,757 × 10⁷ + 6,139 × 10⁷ = 7,896 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 310 − 248,3 = 61,67 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·61,67/7,896 × 10⁷ = 19,53 MPa

Cevap

σ_üst = 19,53 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −4,731 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−10, 110 − −10) = −9,462°

Elemandaki açı

θ_p = −4,731°

Cevap

θ_p = −4,731°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 124,5 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 125 + 35·0,6428 + −30·0,766 = 124,5 MPa

Cevap

σ_θ = 124,5 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 26,86 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2500²·5500²/(3·1,76 × 10¹²·8000) = 26,86 mm

Cevap

δ_P = 26,86 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_mid = 4,599 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Açıklık ortası sehimi

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 11000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·5,88 × 10¹²) = 4,599 mm

Cevap

δ_mid = 4,599 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 62,01 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Cevap

P_cr = 62,01 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 49,35 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials