Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 200 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 200 kNçubuk: Ø20 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 8,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 12 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 8,5 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 7,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 15 kN @ 9 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 7,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 130 × 20 mm üst başlığı, 300 mm yüksekliğinde ve 10 mm kalınlığında gövdesi ve 200 × 18 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 130 × 20 mmgövde: 10 × 300 mmalt başlık: 200 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

25 mm çaplı dolu bir mil, 750 N·m tork ile birlikte 180 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 25 mmF = −180 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 95 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 95 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1098 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 200000·500/9,111 × 10⁸ = 0,1098 mm

Cevap

δ = 0,1098 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 668,9 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1,147 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0005833) = 0,0005833 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005833·1,147 × 10⁹ = 668897 N = 668,9 kN

Cevap

P_max = 668,9 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,434 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·79522) = 0,07739 rad

φ = 0,07739·180/π = 4,434°

Cevap

φ = 4,434°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 23,49 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Cevap

d = 23,49 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −42 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

x = 8,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 60 − 12·8,5 = −42 kN

Cevap

V_x = −42 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 86,25 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·9 + 8·10·5

R_B = 535/10 = 53,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 53,5 = 41,5 kN

x = 7,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 41,5·7,5 − 8·7,5·3,75 = 86,25 kN·m

Cevap

M_x = 86,25 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 51,25 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

gövde: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·272,5 + 3120·130)/6620 = 205,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 140·25³/12 + 3500·(272,5 − 205,3)² = 1,597 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·260³/12 + 3120·(130 − 205,3)² = 3,529 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,597 × 10⁷ + 3,529 × 10⁷ = 5,125 × 10⁷ mm⁴ = 51,25 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 51,25 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 177,6 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 2600 mm², y = 328 mm

gövde: A = 3000 mm², y = 168 mm

alt başlık: A = 3600 mm², y = 9 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2600·328 + 3000·168 + 3600·9)/9200 = 151 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 130·20³/12 + 2600·177² = 8,154 × 10⁷ mm⁴

gövde: 10·300³/12 + 3000·17² = 2,337 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 200·18³/12 + 3600·142² = 7,269 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,154 × 10⁷ + 2,337 × 10⁷ + 7,269 × 10⁷

I_x = 1,776 × 10⁸ mm⁴ = 177,6 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 177,6 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 68,01 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((50 − −60)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Cevap

τ_max = 68,01 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 122,2 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −180000/(π·25²/4) = −180000/490,9 = −366,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −183,3 MPa

R = √((−183,3)² + 244,5²) = 305,6 MPa

σ₁ = C + R = 122,2 MPa

σ₂ = C − R = −488,9 MPa

Cevap

σ₁ = 122,2 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 28,7 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 28,7 mm

Cevap

δ_max = 28,7 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 132 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·12) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/125)^1/3 = 132 mm

Cevap

h_req = 132 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 62,01 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Cevap

P_cr = 62,01 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 83,68 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,68 mm

Cevap

d = 83,68 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 239, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials