Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 300 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 60 mm, iç çap 45 mm, uzunluk 3 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 100 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 40 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 5 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 6 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 20 kN @ 5 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 144 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 200 × 18 mm üst başlığı, 330 mm yüksekliğinde ve 16 mm kalınlığında gövdesi ve 270 × 14 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 200 × 18 mmgövde: 16 × 330 mmalt başlık: 270 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 60 MPa ve σᵧ = −60 MPa’dır. En büyük asal gerilme 110 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 20 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 22 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 145 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 145 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 24,8 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/8,064 × 10⁻⁶ = 24802 N = 24,8 kN

Cevap

P = 24,8 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 8,579 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·1,037 × 10⁶/1,282 × 10⁶ = 24257 N

Gerilme

σ₂ = 24257/2827 = 8,579 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 8,579 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,7601 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Burulma açısı

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·3000/(26000·869767) = 0,01327 rad

φ = 0,01327·180/π = 0,7601°

Cevap

φ = 0,7601°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 18,65 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·40·0,9375)) = 18,65 mm

d_i = 0,5·18,65 = 9,324 mm

Cevap

d_o = 18,65 mm

Dolu bir mil d = 18,25 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 18 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 15·3 − 6·3·1,5 = 18 kN·m

Cevap

M_x = 18 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 82,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·5 + 5·10·5

R_B = 350/10 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 35·3 − 5·3·1,5 = 82,5 kN·m

Cevap

M_x = 82,5 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 706,9·144)/(36000 − 706,9) = 119,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·0,4807² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·24,48² = 0,4634 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 268,9 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 3600 mm², y = 353 mm

gövde: A = 5280 mm², y = 179 mm

alt başlık: A = 3780 mm², y = 7 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (3600·353 + 5280·179 + 3780·7)/12660 = 177,1 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 200·18³/12 + 3600·175,9² = 1,115 × 10⁸ mm⁴

gövde: 16·330³/12 + 5280·1,877² = 4,793 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 270·14³/12 + 3780·170,1² = 1,095 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,115 × 10⁸ + 4,793 × 10⁷ + 1,095 × 10⁸

I_x = 2,689 × 10⁸ mm⁴ = 268,9 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 268,9 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 92,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (60 + (−60))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 0 = 110 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 60²) = 92,2 MPa

Cevap

τ_xy = 92,2 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 23,04 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 0 + −70·0,342 + 50·0,9397 = 23,04 MPa

Cevap

σ_θ = 23,04 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 73,1 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, a = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa³/(3EI) = 20000·5000³/(3·1,14 × 10¹³) = 73,1 mm

Cevap

δ_P = 73,1 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 2,891 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,719 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 1,172 mm

Toplayın

δ_max = 1,719 + 1,172 = 2,891 mm

Cevap

δ_max = 2,891 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 5,426 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

Cevap

P_cr = 5,426 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 90,41 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 90,41 mm

Cevap

d = 90,41 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 110,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials