Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 75 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 105 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 20 mm çaplı dolu bir numune 100 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 2,81° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 2,81°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 60 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 6 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8 mP = 25 kN @ 7 mw = 2 kN/m, 0 ile 8 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 15 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 355 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 5 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,306 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/117000 = 0,001306 = 1306 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001306·1000 mm = 1,306 mm

Cevap

δ = 1,306 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 8,3 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 109,1·500/117000 = 0,4664 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·1500/100000 = 7,833 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,3 mm

Cevap

δ = 8,3 mm

3.Millerin burulması

Cevap: G = 38,94 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,81·π/180 = 0,04904 rad

Kayma modülü

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0,04904) = 38942 MPa

G = 38,94 GPa

Cevap

G = 38,94 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 30,01 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Cevap

d = 30,01 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 66,67, M_D = 100 kN·m, M_E = 73,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 100 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 30,94 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 2·8·4

R_B = 239/8 = 29,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 29,88 = 11,13 kN

V = 0 nerede?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,13/2 = 5,563 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 11,13·5,563 − 2·5,563²/2 = 30,94 kN·m

Cevap

M_max = 30,94 kN·m

A’dan x = 5,563 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 32,95 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (18000·75 − 1963·90)/(18000 − 1963) = 73,16 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·150³/12 + 18000·1,837² = 33,81 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·16,84² = 0,8634 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 32,95 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 32,95 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 22,67 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

gövde: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·227,5 + 2640·110)/7140 = 184,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·15³/12 + 4500·(227,5 − 184,1)² = 8,578 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·220³/12 + 2640·(110 − 184,1)² = 2,513 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,578 × 10⁶ + 2,513 × 10⁷ = 3,37 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 235 − 184,1 = 50,95 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·50,95/3,37 × 10⁷ = 22,67 MPa

Cevap

σ_üst = 22,67 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 66,93 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 80 MPa, R = √(50² + (−20)²) = 53,85 MPa

σ₁ = 133,9 MPa, σ₂ = 26,15 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107,7, 133,9, 26,15)/2 = 66,93 MPa

Cevap

τ_abs = 66,93 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,958

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 60 MPa, R = 60 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = 0 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(120² − 120·0 + 0²) = 120 MPa

n = 355/120 = 2,958

Cevap

n = 2,958

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 28,13 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 28,13 mm

Cevap

δ_max = 28,13 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: M_A = 37,5 kN·m

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 150 − 112,5 = 37,5 kN·m

Cevap

M_A = 37,5 kN·m

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 992,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Cevap

P_cr = 992,2 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 21,93 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Cevap

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials