Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 20 mmBakır3 mP = 50 kN

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 50 kNd = 20 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 30 mmÇelik1,5 mØ 12 mmÇelik1,5 mP = 30 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 30 kNparça 1: Ø30 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
do​ = ?T = 1000 N·m

İçi boş bir mil 1000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,6 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.

T = 1000 N·mdi/do = 0,6τallow = 75 MPa
do = mm
4.Millerin burulmasıZor
do​ = ?15 kW, 1000 rpm

İçi boş bir mil 1000 rpm’de 15 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.

P = 15 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,8τallow = 75 MPa
do = mm
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
6 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

55 kN @ 4 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 8 kN/mP = 35 kNABkesit2 m3 m

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 35 kN @ 2 mw = 8 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 2 m
Mx = kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120 mm200 mm140 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 140 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
2202524014xpozitif Mboyutlar mm cinsinden

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 50 MPa, basınçta 90 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti Mallow değerini bulun.

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 240 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 50σy​ = 70MPaτxy​ = ?

Bir noktada σₓ = 50 MPa ve σᵧ = 70 MPa’dır. En büyük asal gerilme 100 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σx = 50 MPaσy = 70 MPaσ1 = 100 MPa
τxy = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 70σy​ = 60τxy​ = −60MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σx = 70 MPaσy = 60 MPaτxy = −60 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 4 kN/mδL = 8 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
P = 5 kNP = 5 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Basit mesnetli bir kiriş, üçte bir noktalarında (her mesnetten L/3 uzaklıkta) iki eşit P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak açıklık ortasındaki sehim δmax değerini bulun.

P = 5 kNL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 1,5 md = 25 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 25 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1360 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 159,2/117000 = 0,00136 = 1360 µε

Cevap

ε = 1360 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,308 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 42,44 MPa
σ2 = 265,3 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 42,44·1500/200000 = 0,3183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265,3·1500/200000 = 1,989 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,308 mm

Cevap

δ = 2,308 mm
3.Millerin burulması

Cevap: do = 42,73 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0,8704)) = 42,73 mm
di = 0,6·42,73 = 25,64 mm

Cevap

do = 42,73 mm

Dolu bir mil d = 40,8 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: do = 25,45 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·75·0,5904)) = 25,45 mm
di = 0,8·25,45 = 20,36 mm

Cevap

do = 25,45 mm

Dolu bir mil d = 21,35 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 34,33 kN, R2 = 44,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 31,33, MC = 56,67, MD = 76, ME = 89,33 kN·m, MF = 44,67, MG = 0

Cevap

İşaret E: ME = 89,33 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 66 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2 + 8·5·2,5
RB = 170/5 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 34 = 41 kN
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​ = 41RB​ = 34kesit2 m3 m

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 41·2 − 8·2·1 = 66 kN·m

Cevap

Mx = 66 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·100 − 1257·140)/(24000 − 1257) = 97,79 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·200³/12 + 24000·2,21² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·40⁴/64 + 1257·42,21² = 2,365 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 77,75 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Mallow = 13,11 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (5500·252,5 + 3360·120)/8860 = 202,3 mm
üst kenar: c = 265 − 202,3 = 62,75 mm

Alan atalet momenti

I = 220·25³/12 + 5500·50,25² + 14·240³/12 + 3360·82,25² = 5,303 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 90·5,303 × 10⁷/62,75 = 76,07 kN·m
alt kenar: M = 50·5,303 × 10⁷/202,3 = 13,11 kN·m

Belirleyici değer

Mallow = min = 13,11 kN·m (alt kenar)

Cevap

Mallow = 13,11 kN·m
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τxy = 38,73 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (50 + 70)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 100 − 60 = 40 MPa
στxyCσ1​σ2​

Kayma gerilmesi

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 10²) = 38,73 MPa

Cevap

τxy = 38,73 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τθ = −25,22 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

τθ = −5·0,9397 + −60·0,342 = −25,22 MPa

Cevap

τθ = −25,22 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 53,47 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 53,47 mm

Cevap

δmax = 53,47 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 3,786 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

L/3’teki bir yük

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 1,893 mm

İki yükü toplayın

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 3,786 mm

Cevap

δmax = 3,786 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 900 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

Cevap

Pcr = 900 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 11,99 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/6,25 = 240

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Cevap

σcr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials