Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 100 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 80 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 80 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 100 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 rpm’de 50 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 1,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_x değerini A ankastre mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 2,5 mP = 15 kN @ 1,5 mw = 8 kN/m, 0 ile 2,5 m arasındax = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 10 kN @ 2 mw = 12 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 60° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 4 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,08488 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 80000·500/4,712 × 10⁸ = 0,08488 mm

Cevap

δ = 0,08488 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 651 kN

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·8482 = 1,116 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,0005833) = 0,0005833 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005833·1,116 × 10⁹ = 651030 N = 651 kN

Cevap

P_max = 651 kN

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 23,75 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,7599)) = 23,75 mm

d_i = 0,7·23,75 = 16,63 mm

Cevap

d_o = 23,75 mm

Dolu bir mil d = 21,68 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 48,67 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 48,67 mm

d_i = 0,5·48,67 = 24,33 mm

Cevap

d_o = 48,67 mm

Dolu bir mil d = 47,63 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = −31 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −15·1 = −15 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_x = −15 − 16 = −31 kN·m

Cevap

M_x = −31 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 34 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 12·4·2

R_B = 116/4 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 29 = 29 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 29·2 − 12·2·1 = 34 kN·m

Cevap

M_x = 34 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 56,85 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

gövde: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 3120·130)/8120 = 217,7 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 217,7)² = 1,525 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·260³/12 + 3120·(130 − 217,7)² = 4,16 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,525 × 10⁷ + 4,16 × 10⁷ = 5,685 × 10⁷ mm⁴ = 56,85 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 56,85 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 7,491 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

gövde: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·212,5 + 4000·100)/9000 = 162,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 200·25³/12 + 5000·(212,5 − 162,5)² = 1,276 × 10⁷ mm⁴

gövde: 20·200³/12 + 4000·(100 − 162,5)² = 2,896 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,276 × 10⁷ + 2,896 × 10⁷ = 4,172 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 225 − 162,5 = 62,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·62,5/4,172 × 10⁷ = 7,491 MPa

Cevap

σ_üst = 7,491 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 61,03 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((20 − 90)/2)² + −50²) = 61,03 MPa

Cevap

τ_max = 61,03 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 22,68 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 0 + −80·−0,5 + −20·0,866 = 22,68 MPa

Cevap

σ_θ = 22,68 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,0031 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 12·2500³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,0031 rad

Cevap

θ_A = 0,0031 rad

Bu, 0,1776° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: M_A = 12 kN·m

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 48 − 36 = 12 kN·m

Cevap

M_A = 12 kN·m

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,047 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/3000² = 2047 N = 2,047 kN

Cevap

P_cr = 2,047 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 5,483 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Cevap

σ_cr = 5,483 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials