Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
P = ?12500 mm300 mmØ20Ø30δ = 0,3 mm

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmPirinç2 mØ 16 mmPirinç1 mP = 15 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 15 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mφ = ?

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 25 mmT0​ = 100 N·mACBa = 1,5 mb = 3 m

25 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 3 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 1,5 mb = 3 m
τmax = MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
M0​ = 40 kN·mAB3,5 m1,5 m

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 3,5 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 40 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mM0 = 40 kN·m saat yönünde, konumu 3,5 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
15 kN/m20 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

20 kN @ 12 m50 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
220480248xboyutlar mm cinsinden

Simetrik bir I kesitin başlıkları 220 mm genişliğinde ve 24 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 480 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti Ix değerini bulun.

B = 220 mmH = 480 mmtf = 24 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
120 mm240 mm144 mm50 × 30xIx​ = ?

120 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 50 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 144 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 120 mmh = 240 mmkesik: 50 × 30 mmdelik merkezi: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 80σy​ = 100τxy​ = −50MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

σx = 80 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 130σy​ = −60τxy​ = −50MPa

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Malzemenin akma dayanımı 275 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPaσY = 275 MPa
n =
11.Kiriş sehimiOrta
w = 10 kN/mABθ6 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θA değerini radyan cinsinden bulun.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Kiriş sehimiZor
w = 2 kN/mδL = 8 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 m50 × 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
P = 10 kNL = 1,5 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 10 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 21,4 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/1,402 × 10⁻⁵ = 21397 N = 21,4 kN

Cevap

P = 21,4 kN
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,9848 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 11,94 MPa
σ2 = 74,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 11,94·2000/100000 = 0,2387 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 74,6·1000/100000 = 0,746 mm
δ = δ1 + δ2 = 0,9848 mm

Cevap

δ = 0,9848 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,9338 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·613592) = 0,0163 rad
φ = 0,0163·180/π = 0,9338°

Cevap

φ = 0,9338°
4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 21,73 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·3/4,5 = 66,67 N·m
TB = 100·1,5/4,5 = 33,33 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).

τmax = 16·66667/(π·25³) = 21,73 MPa

Cevap

τmax = 21,73 MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 12 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/5 = 8 kN (yukarı)
RA = −RB = −8 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık RA’yı ve kuvvet çiftini içerir.

Mx = RA·a + M0 = −8·3,5 + 40 = 12 kN·m

Cevap

Mx = 12 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 101 kN, R2 = 119 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 172, MC = 284 kN·m, MD = 236, ME = 128, MF = −40, MG = 0

Cevap

İşaret C: MC = 284 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 603,2 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − tw) genişliğinde ve hw = H − 2tf yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

hw = 480 − 2·24 = 432 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·480³ − 212·432³)/12
Ix = 6,032 × 10⁸ mm⁴ = 603,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 603,2 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 137,2 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (28800·120 − 1500·144)/(28800 − 1500) = 118,7 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·240³/12 + 28800·1,319² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

50·30³/12 + 1500·25,32² = 1,074 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 137,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 137,2 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 50,99 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCτmax​

Mohr dairesinin yarıçapı

τmax = R = √(((80 − 100)/2)² + −50²) = 50,99 MPa

Cevap

τmax = 50,99 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,453

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σY’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σY/2’ye ulaştığında akma öngörür.

στxyCσ1​σ2​

Asal gerilmeler

C = 35 MPa, R = 107,4 MPa
σ1 = 142,4 MPa, σ2 = −72,35 MPa, σ3 = 0

von Mises

σvM = √(142,4² − 142,4·(−72,35) + (−72,35)²) = 189,2 MPa
n = 275/189,2 = 1,453

Cevap

n = 1,453

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: θA = 0,03571 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θA = wL³/(24EI) = 10·6000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,03571 rad

Cevap

θA = 0,03571 rad

Bu, 2,046° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 24 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 24 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 24 × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 373 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2100² = 373001 N = 373 kN

Cevap

Pcr = 373 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: d = 28,89 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 28,89 mm

Cevap

d = 28,89 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 207,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials