Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 70 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 100 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

3 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 1000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1000 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 rpm’de 10 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 10 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 5 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 0 m40 kN @ 12 m15 kN @ 4 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 60 MPa, basınçta 100 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = −80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 1500 N·m tork ile birlikte 140 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 30 mmF = −140 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 25 kNw = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1219 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/117000 = 0,001219 = 1219 µε

Cevap

ε = 1219 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 318,3 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 318,3 MPa

Cevap

σ_max = 318,3 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 90,59 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·0,01745) = 6,611 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 90,59 mm

Cevap

d = 90,59 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 33,21 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·75·0,5904)) = 33,21 mm

d_i = 0,8·33,21 = 26,56 mm

Cevap

d_o = 33,21 mm

Dolu bir mil d = 27,86 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 7,5, M_C = 15, M_D = 22,5, M_E = 30 kN·m, M_F = 27,5, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 30 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 10 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 53,75 kN, R₂ = 91,25 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 47,5, M_D = 45, M_E = 2,5, M_F = −80 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −80 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 25,8 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

gövde: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·230 + 1760·110)/6560 = 197,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·20³/12 + 4800·(230 − 197,8)² = 5,135 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·220³/12 + 1760·(110 − 197,8)² = 2,067 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,135 × 10⁶ + 2,067 × 10⁷ = 2,58 × 10⁷ mm⁴ = 25,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 25,8 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 4,177 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (2400·107,5 + 1200·50)/3600 = 88,33 mm

üst kenar: c = 115 − 88,33 = 26,67 mm

Alan atalet momenti

I = 160·15³/12 + 2400·19,17² + 12·100³/12 + 1200·38,33² = 3,69 × 10⁶ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 60·3,69 × 10⁶/26,67 = 8,302 kN·m

alt kenar: M = 100·3,69 × 10⁶/88,33 = 4,177 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 4,177 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 4,177 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 54,22 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·60, −80 − −40) = 108,4°

Elemandaki açı

θ_p = 54,22°

Cevap

θ_p = 54,22°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 200,7 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −140000/(π·30²/4) = −140000/706,9 = −198,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = −99,03 MPa

R = √((−99,03)² + 282,9²) = 299,8 MPa

σ₁ = C + R = 200,7 MPa

σ₂ = C − R = −398,8 MPa

Cevap

σ₁ = 200,7 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,002894 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 4·5000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,002894 rad

Cevap

θ_A = 0,002894 rad

Bu, 0,1658° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 12,72 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, w = 6 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·6000³/(48·1,68 × 10¹³) = 6,696 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 6,027 mm

Toplayın

δ_max = 6,696 + 6,027 = 12,72 mm

Cevap

δ_max = 12,72 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 94,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Cevap

P_cr = 94,2 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,27 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials