Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 250 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 60 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaboru: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 80 mm, iç çap 56 mm, uzunluk 2 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

20 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1 m ve B’den 0,8 m uzaklıktaki C’de 250 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 20 mmT₀ = 250 N·ma = 1 mb = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 3 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 12 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

60 mm çaplı dolu bir mil, 1000 N·m tork ile birlikte 60 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 60 mmF = 60 kNT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 24 kNw = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 40,92 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/6,109 × 10⁻⁶ = 40923 N = 40,92 kN

Cevap

P = 40,92 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 498,5 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00125, 0,0005833) = 0,0005833 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005833·8,545 × 10⁸ = 498466 N = 498,5 kN

Cevap

P_max = 498,5 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,442 °

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·3,056 × 10⁶) = 0,02517 rad

φ = 0,02517·180/π = 1,442°

Cevap

φ = 1,442°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 5,066 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0,8/1,8 = 111,1 N·m

T_B = 250·1/1,8 = 138,9 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve T_A taşır.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 111111·1000/(80000·15708) = 0,08842 rad = 5,066°

Cevap

φ_C = 5,066°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 4,125 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 9·0,5 − 3·0,5·0,25 = 4,125 kN·m

Cevap

M_x = 4,125 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 33,75 kN, R₂ = 36,25 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 67,5 kN·m, M_C = 25, M_D = −17,5, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = 67,5 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 41,36 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

gövde: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·225 + 4400·110)/7400 = 156,6 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·10³/12 + 3000·(225 − 156,6)² = 1,405 × 10⁷ mm⁴

gövde: 20·220³/12 + 4400·(110 − 156,6)² = 2,731 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,405 × 10⁷ + 2,731 × 10⁷ = 4,136 × 10⁷ mm⁴ = 41,36 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 41,36 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 28,28 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

gövde: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 1680·70)/6480 = 129,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·20³/12 + 4800·(150 − 129,3)² = 2,225 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·140³/12 + 1680·(70 − 129,3)² = 8,644 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,225 × 10⁶ + 8,644 × 10⁶ = 1,087 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 160 − 129,3 = 30,74 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·30,74/1,087 × 10⁷ = 28,28 MPa

Cevap

σ_üst = 28,28 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −15,8 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−40, 130 − 0) = −31,61°

Elemandaki açı

θ_p = −15,8°

Cevap

θ_p = −15,8°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 25,86 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 60000/(π·60²/4) = 60000/2827 = 21,22 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 10,61 MPa

R = √(10,61² + 23,58²) = 25,86 MPa

Cevap

τ_max = 25,86 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 60,66 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 60,66 mm

Cevap

δ_max = 60,66 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 16,33 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, w = 5 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 8 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 8,333 mm

Toplayın

δ_max = 8 + 8,333 = 16,33 mm

Cevap

δ_max = 16,33 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 558,1 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Cevap

P_cr = 558,1 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 126,3 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Cevap

σ_cr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials