Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 100 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 150 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 150 kNçubuk: Ø25 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 75 kNparça 1: Ø40 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir çelik mil (dış çap 50 mm, iç çap 38 mm, uzunluk 1,2 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1500 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 5 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mP = 10 kN @ 3 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 30 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 28 kNw = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 15 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1421 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 150000·800/8,443 × 10⁸ = 0,1421 mm

Cevap

δ = 0,1421 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,8952 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 59,68·500/100000 = 0,2984 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·500/200000 = 0,5968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8952 mm

Cevap

δ = 0,8952 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 3,153 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Burulma açısı

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1200/(80000·408885) = 0,05503 rad

φ = 0,05503·180/π = 3,153°

Cevap

φ = 3,153°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 250 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·20/190984 = 250 MPa

Cevap

τ_max = 250 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 30 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 20·2 − 5·2·1 = 30 kN·m

Cevap

M_x = 30 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 42,05 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3 + 10·5·2,5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 31 = 29 kN

V = 0 nerede?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29/10 = 2,9 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 29·2,9 − 10·2,9²/2 = 42,05 kN·m

Cevap

M_max = 42,05 kN·m

A’dan x = 2,9 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 23,05 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

gövde: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·175 + 2560·80)/9760 = 150,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·30³/12 + 7200·(175 − 150,1)² = 5,011 × 10⁶ mm⁴

gövde: 16·160³/12 + 2560·(80 − 150,1)² = 1,803 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,011 × 10⁶ + 1,803 × 10⁷ = 2,305 × 10⁷ mm⁴ = 23,05 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 23,05 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 99,57 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

gövde: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·185 + 2160·90)/4360 = 137,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·10³/12 + 2200·(185 − 137,9)² = 4,891 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·180³/12 + 2160·(90 − 137,9)² = 1,08 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,891 × 10⁶ + 1,08 × 10⁷ = 1,569 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 190 − 137,9 = 52,06 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·52,06/1,569 × 10⁷ = 99,57 MPa

Cevap

σ_üst = 99,57 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −35,01 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 20/58,52 = 0,3417, sin 2θ_s = −55/58,52 = −0,9398

2θ_s = atan2(−55, 20) = −70,02°

Elemandaki açı

θ_s = −35,01°

kontrol: θ_s − θ_p = −35,01 − 9,992 = −45°

Cevap

θ_s = −35,01°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −36,91 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 15 + −45·0,6428 + −30·0,766 = −36,91 MPa

Cevap

σ_θ = −36,91 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 64,59 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 64,59 mm

Cevap

δ_max = 64,59 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 19,33 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 28000 N, w = 6 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 9,333 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10 mm

Toplayın

δ_max = 9,333 + 10 = 19,33 mm

Cevap

δ_max = 19,33 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 101,1 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2500² = 101065 N = 101,1 kN

Cevap

P_cr = 101,1 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 45,22 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 45,22 mm

Cevap

d = 45,22 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 265,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials