Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

0,8 m uzunluğundaki dolu bir çelik mil 200 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 200 N·mL = 0,8 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP₁ = 30 kN @ 2 mP₂ = 55 kN @ 6 mmesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 45 kN @ 3,5 mw = 5 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 200 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 80 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 12 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 200 mmh = 80 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 150 × 10 mm üst başlığı, 180 mm yüksekliğinde ve 8 mm kalınlığında gövdesi ve 230 × 22 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 150 × 10 mmgövde: 8 × 180 mmalt başlık: 230 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = −80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 4 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 50,27 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/5,968 × 10⁻⁶ = 50265 N = 50,27 kN

Cevap

P = 50,27 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 10,91 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·1,696 × 10⁶/2,199 × 10⁶ = 30857 N

Gerilme

σ₂ = 30857/2827 = 10,91 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 10,91 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 24,98 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(80000·0,05236) = 38197 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 24,98 mm

Cevap

d = 24,98 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 20,57 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·37,5/2,902 × 10⁶ = 20,57 MPa

Cevap

τ_max = 20,57 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 14 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 55·6

R_B = 390/5 = 78 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 78 = 7 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·2 = 7·2 = 14 kN·m

Cevap

M_x = 14 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 23,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44 = 26 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 26·1 − 5·1·0,5 = 23,5 kN·m

Cevap

M_x = 23,5 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 22,19 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 200·12 = 2400 mm², y₁ = 6 mm

iki kol: A₂ = 2·12·68 = 1632 mm², y₂ = 12 + 68/2 = 46 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2400·6 + 1632·46)/4032 = 22,19 mm

Cevap

ȳ = 22,19 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 52,28 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1500 mm², y = 207 mm

gövde: A = 1440 mm², y = 112 mm

alt başlık: A = 5060 mm², y = 11 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1500·207 + 1440·112 + 5060·11)/8000 = 65,93 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 150·10³/12 + 1500·141,1² = 2,986 × 10⁷ mm⁴

gövde: 8·180³/12 + 1440·46,07² = 6,944 × 10⁶ mm⁴

alt başlık: 230·22³/12 + 5060·54,93² = 1,547 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,986 × 10⁷ + 6,944 × 10⁶ + 1,547 × 10⁷

I_x = 5,228 × 10⁷ mm⁴ = 52,28 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 52,28 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 70 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = −80 MPa, R = √(0² + (−60)²) = 60 MPa

σ₁ = −20 MPa, σ₂ = −140 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120, 20, 140)/2 = 70 MPa

Cevap

τ_abs = 70 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −31,96 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −10 + −60·0,866 + 60·0,5 = −31,96 MPa

Cevap

σ_θ = −31,96 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 3,427 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 3,427 mm

Cevap

δ = 3,427 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 27,42 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 5,772 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 21,65 mm

Toplayın

δ_max = 5,772 + 21,65 = 27,42 mm

Cevap

δ_max = 27,42 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 82,25 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/5000² = 82247 N = 82,25 kN

Cevap

P_cr = 82,25 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,27 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Alanlar

Esneklikler

Yük

Cevap

Rijitlikler

2. kesimin payı

Gerilme

Cevap

Gerekli polar atalet momenti

Çap

Cevap

Tork

Polar atalet momenti

En büyük kayma gerilmesi

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Dikdörtgenlere ayırın

Ağırlık merkezi

Cevap

Üç dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

Düzlem içi asal gerilmeler

Üç dairenin en büyüğü

Cevap

Dönüşüm denklemi

Cevap

Tutarlı birimler

Sehim

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun