Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 20 mmÇelik1,5 mP = 35 kN

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 35 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 35 mmPirinç2 mØ 16 mmPirinç1 mP = 50 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 50 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
do​ = 50, di​ = 25 mmT = 2000 N·mL = 2 m

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 50 mm, iç çap 25 mm, uzunluk 2 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 2000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 60 mmT0​ = 750 N·mACBa = 1,2 mb = 2 m

60 mm çaplı dolu bir alüminyum mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,2 m ve B’den 2 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 60 mmT0 = 750 N·ma = 1,2 mb = 2 m
TA = N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
15 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 2 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
35 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 6 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
2401016018xboyutlar mm cinsinden

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.

bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
1001026010xM = 50 kN·mboyutlar mm cinsinden

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σüst değerinin büyüklüğünü bulun.

bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 260 mmM = 50 kN·m
σüst = MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −50σy​ = −30τxy​ = −10MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

σx = −50 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = −70σy​ = 40τxy​ = −40MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = −70 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 15 kN/mδL = 2 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
P = 55 kNAB2,5 m2,5 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki RB değerini bulun.

L = 5 mP = 55 kN @ 2,5 m
RB = kN
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 6 m30 × 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
P = 150 kNL = 6 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 150 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 150 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 557 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/200000 = 0,000557 = 557 µε

Cevap

ε = 557 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,526 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 51,97 MPa
σ2 = 248,7 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 51,97·2000/100000 = 1,039 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248,7·1000/100000 = 2,487 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,526 mm

Cevap

δ = 3,526 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 15,32 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Burulma açısı

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2000/(26000·575243) = 0,2674 rad
φ = 0,2674·180/π = 15,32°

Cevap

φ = 15,32°
4.Millerin burulması

Cevap: TA = 468,8 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2/3,2 = 468,8 N·m
TB = 750·1,2/3,2 = 281,3 N·m

Cevap

TA = 468,8 N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 102,5 kN, R2 = 92,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 175, MC = 260, MD = 285 kN·m, ME = 250, MF = 155, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 285 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 0 kN, R2 = 70 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 0, MC = 0, MD = 0, ME = 0, MF = −35 kN·m, MG = 0

Cevap

İşaret F: MF = −35 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 15,62 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
gövde: Aw = 18·160 = 2880 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·165 + 2880·80)/5280 = 118,6 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·10³/12 + 2400·(165 − 118,6)² = 5,179 × 10⁶ mm⁴
gövde: 18·160³/12 + 2880·(80 − 118,6)² = 1,044 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,179 × 10⁶ + 1,044 × 10⁷ = 1,562 × 10⁷ mm⁴ = 15,62 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 15,62 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σüst = 184,2 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 100·10 = 1000 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
gövde: Aw = 10·260 = 2600 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1000·265 + 2600·130)/3600 = 167,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 100·10³/12 + 1000·(265 − 167,5)² = 9,515 × 10⁶ mm⁴
gövde: 10·260³/12 + 2600·(130 − 167,5)² = 1,83 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,515 × 10⁶ + 1,83 × 10⁷ = 2,782 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 270 − 167,5 = 102,5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·102,5/2,782 × 10⁷ = 184,2 MPa

Cevap

σüst = 184,2 MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 14,14 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

σxyCτmax​

Mohr dairesinin yarıçapı

τmax = R = √(((−50 − −30)/2)² + −10²) = 14,14 MPa

Cevap

τmax = 14,14 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = −77,14 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = −15 + −55·0,5 + −40·0,866 = −77,14 MPa

Cevap

σθ = −77,14 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 3,382 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 3,382 mm

Cevap

δmax = 3,382 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: RB = 17,19 kN

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Cevap

RB = 17,19 kN
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 6,169 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/6000² = 6169 N = 6,169 kN

Cevap

Pcr = 6,169 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: d = 141,3 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 141,3 mm

Cevap

d = 141,3 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 169,9, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials