Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 95 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 20 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 2,5 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 40 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mM₀ = 40 kN·m saat yönünde, konumu 2,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 0 m35 kN @ 12 m45 kN @ 4 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 168 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Simetrik bir I kesitin başlıkları 170 mm genişliğinde ve 10 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 360 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. x eksenine göre 150 kN·m eğilme momenti taşır. Gövde ile üst başlığın birleşim yerindeki eğilme gerilmesinin büyüklüğü σ_j değerini bulun.

B = 170 mmH = 360 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 275 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 35 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 35 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 6048 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 95·1000/78,54 = 1210 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1210/200000 = 0,006048 = 6048 µε

Cevap

ε = 6048 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,734 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·1500/200000 = 0,6875 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1000/70000 = 2,046 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,734 mm

Cevap

δ = 2,734 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 23,94 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·38350) = 0,4179 rad

φ = 0,4179·180/π = 23,94°

Cevap

φ = 23,94°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 10,73 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·40/2,374 × 10⁶ = 10,73 MPa

Cevap

τ_max = 10,73 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 20 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −8 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık R_A’yı ve kuvvet çiftini içerir.

M_x = R_A·a + M₀ = −8·2,5 + 40 = 20 kN·m

Cevap

M_x = 20 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 84,67 kN, R₂ = 76,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −22,67, M_D = −69,33, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −140 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (48000·120 − 706,9·168)/(48000 − 706,9) = 119,3 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·240³/12 + 48000·0,7174² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·48,72² = 1,717 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_j = 195,6 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 360 − 2·10 = 340 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·360³ − 162·340³)/12

I_x = 1,304 × 10⁸ mm⁴

Eğilme gerilmesi

y = 180 − 10 = 170 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·170/1,304 × 10⁸ = 195,6 MPa

Cevap

σ_j = 195,6 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 50,99 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((20 − 0)/2)² + −50²) = 50,99 MPa

Cevap

τ_max = 50,99 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,022

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 45 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 113 MPa, σ₂ = −23,01 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 136 MPa

n = 275/136 = 2,022

Cevap

n = 2,022

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 15,87 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 12000·2000³/(3·2,52 × 10¹²) = 12,7 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 3,175 mm

Toplayın

δ = 12,7 + 3,175 = 15,87 mm

Cevap

δ = 15,87 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4,167) = 2,712 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 33,91 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Cevap

P_cr = 33,91 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 41,95 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 41,95 mm

Cevap

d = 41,95 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 95,36, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials