Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 50 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 50 kNçubuk: Ø40 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 6 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 6 mw = 10 kN/m, 2 ile 6 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 230 mm ve iç çapı d = 222 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 230 mmd = 222 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

100 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 90 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 300 mmkesik: 40 × 20 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 150 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 200 N·m tork ile birlikte 130 kN eksenel çekme kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmF = 130 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 13 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Kiriş sehimiZor

150 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 150 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,02914 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 50000·800/1,373 × 10⁹ = 0,02914 mm

Cevap

δ = 0,02914 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 16,74 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·460767/657116 = 21036 N

Gerilme

σ₂ = 21036/1257 = 16,74 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 16,74 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,751 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·613592) = 0,03056 rad

φ = 0,03056·180/π = 1,751°

Cevap

φ = 1,751°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 39,05 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·37,5/1,834 × 10⁶ = 39,05 MPa

Cevap

τ_max = 39,05 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 9 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 12·3 − 6·3·1,5 = 9 kN·m

Cevap

M_x = 9 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 35,56 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4·4

R_B = 160/6 = 26,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26,67 = 13,33 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 13,33/10 = 3,333 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 13,33·3,333 − 10·1,333²/2 = 35,56 kN·m

Cevap

M_max = 35,56 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 79,92 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 2840 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,814 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(1,814 × 10⁷/2840) = 79,92 mm

Cevap

r = 79,92 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·150 − 800·90)/(30000 − 800) = 151,6 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·300³/12 + 30000·−1,644² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·20³/12 + 800·−61,64² = 3,067 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −30,96 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 40/85 = 0,4706, sin 2θ_s = −75/85 = −0,8824

2θ_s = atan2(−75, 40) = −61,93°

Elemandaki açı

θ_s = −30,96°

kontrol: θ_s − θ_p = −30,96 − 14,04 = −45°

Cevap

θ_s = −30,96°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 99,39 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = 130000/(π·30²/4) = 130000/706,9 = 183,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 91,96 MPa

R = √(91,96² + 37,73²) = 99,39 MPa

Cevap

τ_max = 99,39 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 2,355 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,942 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001413 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,355 mm

Cevap

δ_B = 2,355 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 180,1 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·9,722) = 7,308 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·7,308 × 10⁷/150)^1/3 = 180,1 mm

Cevap

h_req = 180,1 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,205 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Cevap

P_cr = 4,205 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 49,35 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials