Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 80 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 85 kNparça 1: Ø25 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir çelik mil A’da ankastredir. A’dan 1,2 m uzaklıktaki B’de 2000 N·m tork, ondan 1,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 400 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 400 N·mAB = 1,2 mBC = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. B mesnedindeki eğilme momenti M_B değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP₁ = 65 kN @ 1,5 mP₂ = 40 kN @ 6 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında

M_B = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

20 kN @ 6 m20 kN @ 3 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

İçi boş dikdörtgen (kutu) bir kesitin dış genişliği B = 160 mm, dış yüksekliği H = 375 mm ve düzgün et kalınlığı t = 18 mm’tir. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

B = 160 mmH = 375 mmt = 18 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 190 × 12 mm üst başlığı, 260 mm yüksekliğinde ve 14 mm kalınlığında gövdesi ve 150 × 10 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 190 × 12 mmgövde: 14 × 260 mmalt başlık: 150 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 5,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 30 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δ_max değerini bulun.

P = 25 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 40 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1617 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/70000 = 0,001617 = 1617 µε

Cevap

ε = 1617 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,664 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·2000/200000 = 1,732 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·500/70000 = 1,933 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,664 mm

Cevap

δ = 3,664 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,868 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(80000·38350) = 0,03259 rad

φ = 0,03259·180/π = 1,868°

Cevap

φ = 1,868°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 3,762 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 2000 = −1600 N·m

Her parçanın burulması

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1,6 × 10⁶·1200/(80000·251327) = −0,09549 rad

φ_BC = 400000·1500/(80000·251327) = 0,02984 rad

C ucunun burulması

φ_C = −0,09549 + 0,02984 = −0,06565 rad → |φ_C| = 3,762°

Cevap

φ_C = 3,762°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_B = −80 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·1,5 + 40·6

R_B = 337,5/4 = 84,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 84,38 = 20,63 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmaya yalnızca P₂ etkir, moment kolu a’dır. Kirişi mesnet üzerinde yukarı doğru eğer (negatif moment).

M_B = −P₂·a = −40·2 = −80 kN·m

Cevap

M_B = −80 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 7 kN, R₂ = 57 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 4, M_C = 2, M_D = −6, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −40 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 129,3 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

b = 124 mm, h = 339 mm

A = BH − bh = 160·375 − 124·339 = 17964 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3,006 × 10⁸ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(3,006 × 10⁸/17964) = 129,3 mm

Cevap

r = 129,3 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 88,49 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 2280 mm², y = 276 mm

gövde: A = 3640 mm², y = 140 mm

alt başlık: A = 1500 mm², y = 5 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2280·276 + 3640·140 + 1500·5)/7420 = 154,5 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 190·12³/12 + 2280·121,5² = 3,369 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·260³/12 + 3640·14,5² = 2,127 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 150·10³/12 + 1500·149,5² = 3,354 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,369 × 10⁷ + 2,127 × 10⁷ + 3,354 × 10⁷

I_x = 8,849 × 10⁷ mm⁴ = 88,49 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 88,49 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −39,85 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 20/111,8 = 0,1789, sin 2θ_s = −110/111,8 = −0,9839

2θ_s = atan2(−110, 20) = −79,7°

Elemandaki açı

θ_s = −39,85°

kontrol: θ_s − θ_p = −39,85 − 5,152 = −45°

Cevap

θ_s = −39,85°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 93,81 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 10 MPa, R = 53,85 MPa

σ₁ = 63,85 MPa, σ₂ = −43,85 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(63,85² − 63,85·(−43,85) + (−43,85)²) = 93,81 MPa

Cevap

σ_vM = 93,81 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 9,847 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 30000·5500²·2500²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 9,847 mm

Cevap

δ_P = 9,847 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 8,64 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

En büyük sehim

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 8,64 mm

Cevap

δ_max = 8,64 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 5,849 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3000² = 5849 N = 5,849 kN

Cevap

P_cr = 5,849 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 60,29 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,29 mm

Cevap

d = 60,29 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 265,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials