Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 35 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 50 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 30 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 6,49° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 30 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 6,49°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 6 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 0,5 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 30 kN @ 9 mw = 4 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 4 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

100 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 105 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 40 MPa, basınçta 90 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 10 MPa ve σᵧ = 100 MPa’dır. En büyük asal gerilme 115 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 14 kNw = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,828 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 71,3/117000 = 0,0006094 = 609,4 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0006094·3000 mm = 1,828 mm

Cevap

δ = 1,828 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 38,58 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 50000·235619/431969 = 27273 N

Gerilme

σ₂ = 27273/706,9 = 38,58 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 38,58 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: G = 39,03 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6,49·π/180 = 0,1133 rad

Kayma modülü

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(2036·0,1133) = 39030 MPa

G = 39,03 GPa

Cevap

G = 39,03 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 54,53 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·40)) = 54,53 mm

Cevap

d = 54,53 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = 21 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 24 − 6·0,5 = 21 kN

Cevap

V_x = 21 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 60 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·9 + 4·10·5

R_B = 470/10 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 47 = 23 kN

x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 23·4 − 4·4·2 = 60 kN·m

Cevap

M_x = 60 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 223,5 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·150 − 706,9·105)/(30000 − 706,9) = 151,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·300³/12 + 30000·−1,086² = 225 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·−46,09² = 1,541 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 223,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 223,5 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 15,38 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (3000·245 + 2400·120)/5400 = 189,4 mm

üst kenar: c = 250 − 189,4 = 60,56 mm

Alan atalet momenti

I = 300·10³/12 + 3000·55,56² + 10·240³/12 + 2400·69,44² = 3,238 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 40·3,238 × 10⁷/60,56 = 21,39 kN·m

alt kenar: M = 90·3,238 × 10⁷/189,4 = 15,38 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 15,38 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 15,38 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 39,69 MPa

Gerekli yarıçap

C = (10 + 100)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 55 = 60 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 45²) = 39,69 MPa

Cevap

τ_xy = 39,69 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,122

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 65 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 133 MPa, σ₂ = −3,007 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(133² − 133·(−3,007) + (−3,007)²) = 134,5 MPa

n = 420/134,5 = 3,122

Cevap

n = 3,122

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 10,63 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 10,63 mm

Cevap

δ_max = 10,63 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 50,67 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 14000 N, w = 20 N/mm, L = 8000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·8000³/(48·2,4 × 10¹³) = 6,222 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 44,44 mm

Toplayın

δ_max = 6,222 + 44,44 = 50,67 mm

Cevap

δ_max = 50,67 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 21,15 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2100² = 21149 N = 21,15 kN

Cevap

P_cr = 21,15 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 73,46 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 73,46 mm

Cevap

d = 73,46 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 152,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials