Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 25 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

1,5 m uzunluğundaki dolu bir çelik mil 200 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 200 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 dev/dk’da 15 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5,5 mP₁ = 35 kN @ 1 mP₂ = 15 kN @ 5,5 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8 mP = 35 kN @ 1 mw = 3 kN/m, 0 ile 8 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 200 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 70 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 10 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 200 mmh = 70 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 60 MPa, basınçta 150 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1200 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 0,8 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 35° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 0,8 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 3158 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 221/70000 = 0,003158 = 3158 µε

Cevap

ε = 3158 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,7715 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·2000/70000 = 0,2274 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·2000/117000 = 0,5441 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,7715 mm

Cevap

δ = 0,7715 mm

3.Millerin burulması

Cevap: d = 29,23 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1500/(80000·0,05236) = 71620 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 29,23 mm

Cevap

d = 29,23 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 4,169 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·40/2,749 × 10⁶ = 4,169 MPa

Cevap

τ_max = 4,169 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 20,63 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 15·5,5

R_B = 117,5/4 = 29,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 29,38 = 20,63 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·1 = 20,63·1 = 20,63 kN·m

Cevap

M_x = 20,63 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 44,69 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·1 + 3·8·4

R_B = 131/8 = 16,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 16,38 = 42,63 kN

V = 0 nerede?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (42,63 − 35)/3 = 2,542 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 44,69 kN·m

Cevap

M_max = 44,69 kN·m

A’dan x = 2,542 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 1,295 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 200·10 = 2000 mm², y₁ = 5 mm

iki kol: A₂ = 2·10·60 = 1200 mm², y₂ = 10 + 60/2 = 40 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2000·5 + 1200·40)/3200 = 18,13 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 200·10³/12 + 2000·(5 − 18,13)² = 361198 mm⁴

iki kol: 2·10·60³/12 + 1200·(40 − 18,13)² = 934219 mm⁴

I_x = 361198 + 934219

I_x = 1,295 × 10⁶ mm⁴ = 1,295 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 1,295 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 33,27 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (2500·292,5 + 3360·140)/5860 = 205,1 mm

üst kenar: c = 305 − 205,1 = 99,94 mm

Alan atalet momenti

I = 100·25³/12 + 2500·87,44² + 12·280³/12 + 3360·65,06² = 5,542 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 60·5,542 × 10⁷/99,94 = 33,27 kN·m

alt kenar: M = 150·5,542 × 10⁷/205,1 = 40,54 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 33,27 kN·m (üst kenar)

Cevap

M_allow = 33,27 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 42,72 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((0 − 30)/2)² + −40²) = 42,72 MPa

Cevap

τ_max = 42,72 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 33,42 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,8·600/12 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 20·sin²35° + 40·cos²35° = 33,42 MPa

Cevap

σ_n = 33,42 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 4,404 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 4,404 mm

Cevap

δ_max = 4,404 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,25 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 2,25 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 48,83 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Cevap

P_cr = 48,83 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 12,34 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Cevap

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Gerilme

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

Cevap

İki parçada aynı kuvvet

Parça uzamalarını toplayın

Cevap

Gerekli polar atalet momenti

Çap

Cevap

Tork

Polar atalet momenti

En büyük kayma gerilmesi

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

V = 0 nerede?

En büyük moment

Cevap

Dikdörtgenlere ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

Ağırlık merkezi

Alan atalet momenti

Her kenarın izin verdiği moment

Belirleyici değer

Cevap

Mohr dairesinin yarıçapı

Cevap

Cidar gerilmeleri

Dikişe dönüştürün

Cevap

Tutarlı birimler

Sehim

Cevap

Sehim sınırı

Gereken atalet momenti

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun