Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 30 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 15 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 2 m; BC parçasının çapı 25 mm ve uzunluğu 2 m’dir. Serbest uç C’de 100 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1800 rpm’de 100 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,6 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 80 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 30 kN @ 1,5 mw = 6 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 72 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 130 × 22 mm üst başlığı, 250 mm yüksekliğinde ve 12 mm kalınlığında gövdesi ve 250 × 12 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 130 × 22 mmgövde: 12 × 250 mmalt başlık: 250 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Açıklık ortasındaki sehim δ_mid değerini bulun.

P = 16 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 60 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1326 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/200000 = 0,001326 = 1326 µε

Cevap

ε = 1326 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,721 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·1500/70000 = 0,6548 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·1000/70000 = 1,066 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,721 mm

Cevap

δ = 1,721 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 11,36 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·2000/(39000·79522) = 0,06449 rad

φ_BC = 100000·2000/(39000·38350) = 0,1337 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,06449 + 0,1337 = 0,1982 rad = 11,36°

Cevap

φ_C = 11,36°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 33,85 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 530,5 N·m = 530516 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·80·0,8704)) = 33,85 mm

d_i = 0,6·33,85 = 20,31 mm

Cevap

d_o = 33,85 mm

Dolu bir mil d = 32,32 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 63,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 58,33, M_C = 106,7 kN·m, M_D = 95, M_E = 73,33, M_F = 41,67, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 106,7 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 52,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1,5 + 6·6·3

R_B = 153/6 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 25,5 = 40,5 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 40,5·2,5 − 30·(2,5 − 1,5) − 6·2,5·1,25 = 52,5 kN·m

Cevap

M_x = 52,5 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 165,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 2827·72)/(36000 − 2827) = 124,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·−4,091² = 173,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−52,09² = 8,308 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 165,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 165,1 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 120,2 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 2860 mm², y = 273 mm

gövde: A = 3000 mm², y = 137 mm

alt başlık: A = 3000 mm², y = 6 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2860·273 + 3000·137 + 3000·6)/8860 = 136,5 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 130·22³/12 + 2860·136,5² = 5,337 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·250³/12 + 3000·0,456² = 1,563 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 250·12³/12 + 3000·130,5² = 5,116 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,337 × 10⁷ + 1,563 × 10⁷ + 5,116 × 10⁷

I_x = 1,202 × 10⁸ mm⁴ = 120,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 120,2 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −47,72 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −10/105,5 = −0,09481, sin 2θ_s = −105/105,5 = −0,9955

2θ_s = atan2(−105, −10) = −95,44°

Elemandaki açı

θ_s = −47,72°

kontrol: θ_s − θ_p = −47,72 − (−2,72) = −45°

Cevap

θ_s = −47,72°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 45,56 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 25 + 5·0,1736 + 20·0,9848 = 45,56 MPa

Cevap

σ_θ = 45,56 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 4,219 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 4,219 mm

Cevap

δ_max = 4,219 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_mid = 19,89 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 16000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Açıklık ortası sehimi

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 16000·1500·(3·8000² − 4·1500²)/(48·4,6 × 10¹²) = 19,89 mm

Cevap

δ_mid = 19,89 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 14,21 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/5000² = 14212 N = 14,21 kN

Cevap

P_cr = 14,21 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 58,37 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 58,37 mm

Cevap

d = 58,37 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 171,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials