Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 80 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 1000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 0,5 m uzaklıktaki B’de 500 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 250 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,5 mBC = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 4 m12 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 60 kN @ 1 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 240 mm genişliğinde ve 24 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 500 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre eğilme için elastik kesit modülü S_x değerini bulun.

B = 240 mmH = 500 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 60 MPa, basınçta 150 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1000 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 40° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1000 mmt = 15 mmp = 1 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 110 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 110 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 26,95 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706,9) = 8,084 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/9,278 × 10⁻⁶ = 26946 N = 26,95 kN

Cevap

P = 26,95 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 254,6 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 254,6 MPa

Cevap

σ_max = 254,6 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 49,89 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·60·0,6836)) = 49,89 mm

d_i = 0,75·49,89 = 37,42 mm

Cevap

d_o = 49,89 mm

Dolu bir mil d = 43,95 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 12,47 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

Her parçanın burulması

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 750000·500/(39000·79522) = 0,1209 rad

φ_BC = 250000·1200/(39000·79522) = 0,09673 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,1209 + 0,09673 = 0,2176 rad → |φ_C| = 12,47°

Cevap

φ_C = 12,47°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 32 kN, R₂ = 52 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 32, M_C = 64, M_D = 90, M_E = 104 kN·m, M_F = 52, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 104 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 68 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 10·5·2,5

R_B = 185/5 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 37 = 73 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 73·1 − 10·1·0,5 = 68 kN·m

Cevap

M_x = 68 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: S_x = 2859 × 10³ mm³

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 500 − 2·24 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·500³ − 232·452³)/12

I_x = 7,147 × 10⁸ mm⁴

Kesit modülü

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 7,147 × 10⁸/250

S_x = 2,859 × 10⁶ mm³ = 2859 × 10³ mm³

Cevap

S_x = 2859 × 10³ mm³

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 12,74 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (3500·232,5 + 3080·110)/6580 = 175,2 mm

üst kenar: c = 245 − 175,2 = 69,84 mm

Alan atalet momenti

I = 140·25³/12 + 3500·57,34² + 14·220³/12 + 3080·65,16² = 3,719 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 150·3,719 × 10⁷/69,84 = 79,87 kN·m

alt kenar: M = 60·3,719 × 10⁷/175,2 = 12,74 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 12,74 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 12,74 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −14,31 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−30, 90 − −20) = −28,61°

Elemandaki açı

θ_p = −14,31°

Cevap

θ_p = −14,31°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 26,45 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1·500/15 = 33,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16,67 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 16,67·sin²40° + 33,33·cos²40° = 26,45 MPa

Cevap

σ_n = 26,45 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 21,73 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 14,49 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01449 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 21,73 mm

Cevap

δ_B = 21,73 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,813 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 2,813 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 71,19 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71,19 kN

Cevap

P_cr = 71,19 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 92,43 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92,43 mm

Cevap

d = 92,43 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 129,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials