Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 105 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 50 kNparça 1: Ø25 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 20 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 1,18° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 20 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 1,18°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 50 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

55 kN @ 4 m60 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mw = 20 kN/m, 2 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 70 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

200 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 80 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 120 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 300 mmkesik: 80 × 50 mmdelik merkezi: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 45° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 50° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş, üçte bir noktalarında (her mesnetten L/3 uzaklıkta) iki eşit P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak açıklık ortasındaki sehim δ_max değerini bulun.

P = 5 kNL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 10 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,456 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/100000 = 0,001485 = 1485 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001485·3000 mm = 4,456 mm

Cevap

δ = 4,456 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,701 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101,9·500/70000 = 0,7276 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·2000/100000 = 4,974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,701 mm

Cevap

δ = 5,701 mm

3.Millerin burulması

Cevap: G = 39,08 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,18·π/180 = 0,02059 rad

Kayma modülü

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(4970·0,02059) = 39078 MPa

G = 39,08 GPa

Cevap

G = 39,08 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 39,32 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

Cevap

d = 39,32 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 68,33, M_C = 76,67, M_D = 85, M_E = 93,33 kN·m, M_F = 46,67, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 93,33 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 38,4 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 16/20 = 2,8 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 16·2,8 − 20·0,8²/2 = 38,4 kN·m

Cevap

M_max = 38,4 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·100 − 2827·70)/(24000 − 2827) = 104 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·200³/12 + 24000·−4,006² = 80,39 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−34,01² = 3,906 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 445,3 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (60000·150 − 4000·120)/(60000 − 4000) = 152,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·300³/12 + 60000·−2,143² = 450,3 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

80·50³/12 + 4000·−32,14² = 4,966 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 445,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 445,3 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 90 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 50 − (−50)·0 − 40·(−1) = 90 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 10 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 90 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 44,17 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 85 + 65·−0,1736 + −30·0,9848 = 44,17 MPa

Cevap

σ_θ = 44,17 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,007256 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 2·8000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,007256 rad

Cevap

θ_A = 0,007256 rad

Bu, 0,4158° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 4,733 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

L/3’teki bir yük

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 2,366 mm

İki yükü toplayın

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 4,733 mm

Cevap

δ_max = 4,733 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 319,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1500² = 319848 N = 319,8 kN

Cevap

P_cr = 319,8 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 37,56 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 37,56 mm

Cevap

d = 37,56 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 159,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials