Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 75 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 50 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 30 kN @ 3 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 110 × 18 mm üst başlığı, 300 mm yüksekliğinde ve 12 mm kalınlığında gövdesi ve 160 × 12 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 110 × 18 mmgövde: 12 × 300 mmalt başlık: 160 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 15 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 4,775 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/200000 = 0,004775 = 4775 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,004775·1000 mm = 4,775 mm

Cevap

δ = 4,775 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 254,1 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (alüminyum)

En büyük yük

P_max = 0,0007143·3,558 × 10⁸ = 254132 N = 254,1 kN

Cevap

P_max = 254,1 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 11,69 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·251327) = 0,204 rad

φ = 0,204·180/π = 11,69°

Cevap

φ = 11,69°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 32,32 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·40)) = 32,32 mm

Cevap

d = 32,32 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 36,5 kN, R₂ = 32,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 73, M_C = 138, M_D = 187 kN·m, M_E = 130, M_F = 65, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 187 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 13,88 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 3·4·2

R_B = 114/4 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 28,5 = 13,5 kN

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 13,5·3,5 − 30·(3,5 − 3) − 3·3,5·1,75 = 13,88 kN·m

Cevap

M_x = 13,88 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 86,17 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

gövde: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·272,5 + 5200·130)/11200 = 206,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·25³/12 + 6000·(272,5 − 206,3)² = 2,658 × 10⁷ mm⁴

gövde: 20·260³/12 + 5200·(130 − 206,3)² = 5,96 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,658 × 10⁷ + 5,96 × 10⁷ = 8,617 × 10⁷ mm⁴ = 86,17 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 86,17 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 123,8 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1980 mm², y = 321 mm

gövde: A = 3600 mm², y = 162 mm

alt başlık: A = 1920 mm², y = 6 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1980·321 + 3600·162 + 1920·6)/7500 = 164 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 110·18³/12 + 1980·157² = 4,883 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·300³/12 + 3600·2,04² = 2,701 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 160·12³/12 + 1920·158² = 4,798 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,883 × 10⁷ + 2,701 × 10⁷ + 4,798 × 10⁷

I_x = 1,238 × 10⁸ mm⁴ = 123,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 123,8 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −35,01 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = 40/117 = 0,3417, sin 2θ_s = −110/117 = −0,9398

2θ_s = atan2(−110, 40) = −70,02°

Elemandaki açı

θ_s = −35,01°

kontrol: θ_s − θ_p = −35,01 − 9,992 = −45°

Cevap

θ_s = −35,01°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −54,69 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −40·0,9397 + −50·0,342 = −54,69 MPa

Cevap

τ_θ = −54,69 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,005114 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,005114 rad

Cevap

θ_A = 0,005114 rad

Bu, 0,293° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 920,5 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·6000⁴/(384·11000·16,67) = 9,205 × 10⁸ mm⁴

I_req = 920,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 920,5 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 235,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1250² = 235818 N = 235,8 kN

Cevap

P_cr = 235,8 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 33,36 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33,36 mm

Cevap

d = 33,36 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 239,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials