Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 400 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø25 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 100 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 75 mm ve uzunluğu 1,5 m; BC parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 0,5 m’dir. Serbest uç C’de 750 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

T = 750 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 60 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 rpm’de 75 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

40 kN @ 6 m6 kN/m, 2–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 20 kN @ 3,5 mw = 6 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 25 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 100 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

30 mm çaplı dolu bir mil, 2000 N·m tork ile birlikte 300 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 30 mmM = 300 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1065 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·9346 = 1,126 × 10⁹ N

Kısalma

δ = 300000·400/1,126 × 10⁹ = 0,1065 mm

Cevap

δ = 0,1065 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 948,8 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0008·1,186 × 10⁹ = 948761 N = 948,8 kN

Cevap

P_max = 948,8 kN

3.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 17,68 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Her parçadaki gerilme

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·75³) = 9,054 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

Cevap

τ_max = 17,68 MPa

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 45,61 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,6836)) = 45,61 mm

d_i = 0,75·45,61 = 34,2 mm

Cevap

d_o = 45,61 mm

Dolu bir mil d = 40,18 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 45 kN, R₂ = 55 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 168, M_D = 222 kN·m, M_E = 172, M_F = 98, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 222 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 18 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3,5 + 6·5·2,5

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 29 = 21 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 21·1 − 6·1·0,5 = 18 kN·m

Cevap

M_x = 18 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 11,79 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

gövde: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·152,5 + 1680·70)/7180 = 133,2 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·25³/12 + 5500·(152,5 − 133,2)² = 2,336 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·140³/12 + 1680·(70 − 133,2)² = 9,454 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,336 × 10⁶ + 9,454 × 10⁶ = 1,179 × 10⁷ mm⁴ = 11,79 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 11,79 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 54,16 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

gövde: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·135 + 2400·60)/11400 = 119,2 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·30³/12 + 9000·(135 − 119,2)² = 2,919 × 10⁶ mm⁴

gövde: 20·120³/12 + 2400·(60 − 119,2)² = 1,129 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,919 × 10⁶ + 1,129 × 10⁷ = 1,421 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 150 − 119,2 = 30,79 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·30,79/1,421 × 10⁷ = 54,16 MPa

Cevap

σ_üst = 54,16 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −57,39 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −30/71,59 = −0,4191, sin 2θ_s = −65/71,59 = −0,908

2θ_s = atan2(−65, −30) = −114,8°

Elemandaki açı

θ_s = −57,39°

kontrol: θ_s − θ_p = −57,39 − (−12,39) = −45°

Cevap

θ_s = −57,39°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 438,1 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·30³) = 113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 56,59 MPa

R = √(56,59² + 377,3²) = 381,5 MPa

σ₁ = C + R = 438,1 MPa

σ₂ = C − R = −324,9 MPa

Cevap

σ₁ = 438,1 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,01324 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,01324 rad

Cevap

θ_A = 0,01324 rad

Bu, 0,7583° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 137,1 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·8000⁴/(384·70000·22,22) = 1,371 × 10⁸ mm⁴

I_req = 137,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 137,1 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 71,19 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71,19 kN

Cevap

P_cr = 71,19 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 69,42 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 69,42 mm

Cevap

d = 69,42 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 288,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials