Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 25 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Kademeli dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 60 mm ve uzunluğu 0,5 m; BC parçasının çapı 40 mm ve uzunluğu 0,8 m’dir. Serbest uç C’de 2000 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

T = 2000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 3000 dev/dk’da 15 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 3,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_x değerini A ankastre mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 15 kN @ 3,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 60 MPa, basınçta 90 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 420 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 27 kNw = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 397,9 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 25·1000/314,2 = 79,58 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 79,58/200000 = 0,0003979 = 397,9 µε

Cevap

ε = 397,9 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 37,14 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 60000·439823/565487 = 46667 N

Gerilme

σ₂ = 46667/1257 = 37,14 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 37,14 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 15,76 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03023 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·800/(26000·251327) = 0,2449 rad

Toplam burulma

φ_C = 0,03023 + 0,2449 = 0,2751 rad = 15,76°

Cevap

φ_C = 15,76°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 14,49 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·80)) = 14,49 mm

Cevap

d = 14,49 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = −61,25 kN·m

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −15·2 = −30 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_x = −30 − 31,25 = −61,25 kN·m

Cevap

M_x = −61,25 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 59,08 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·5·2,5

R_B = 125/8 = 15,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 15,63 = 34,38 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 34,38/10 = 3,438 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 34,38·3,438 − 10·3,438²/2 = 59,08 kN·m

Cevap

M_max = 59,08 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 46,17 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

gövde: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·255 + 2400·120)/10800 = 225 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·30³/12 + 8400·(255 − 225)² = 8,19 × 10⁶ mm⁴

gövde: 10·240³/12 + 2400·(120 − 225)² = 3,798 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,19 × 10⁶ + 3,798 × 10⁷ = 4,617 × 10⁷ mm⁴ = 46,17 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 46,17 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 16,44 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (6600·275 + 3120·130)/9720 = 228,5 mm

üst kenar: c = 290 − 228,5 = 61,54 mm

Alan atalet momenti

I = 220·30³/12 + 6600·46,54² + 12·260³/12 + 3120·98,46² = 6,261 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 90·6,261 × 10⁷/61,54 = 91,56 kN·m

alt kenar: M = 60·6,261 × 10⁷/228,5 = 16,44 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 16,44 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 16,44 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −61,85 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −20/36,06 = −0,5547, sin 2θ_s = −30/36,06 = −0,8321

2θ_s = atan2(−30, −20) = −123,7°

Elemandaki açı

θ_s = −61,85°

kontrol: θ_s − θ_p = −61,85 − (−16,85) = −45°

Cevap

θ_s = −61,85°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,354

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 65 MPa, R = 60,21 MPa

σ₁ = 125,2 MPa, σ₂ = 4,792 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 125,2 MPa

n = 420/125,2 = 3,354

Cevap

n = 3,354

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 65,28 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 65,28 mm

Cevap

δ_max = 65,28 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 29,84 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, w = 4 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·8000³/(48·1,68 × 10¹³) = 17,14 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 12,7 mm

Toplayın

δ_max = 17,14 + 12,7 = 29,84 mm

Cevap

δ_max = 29,84 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 38,59 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Cevap

P_cr = 38,59 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 87,73 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Cevap

σ_cr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials