Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 20 mmPirinç1,5 mP = 65 kN

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 65 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
60 kN12300 mm300 mmØ20Ø60σ2​ = ?

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 300 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
d1​ = 75 mmd2​ = 30 mmT = 500 N·mABC3 m2,5 m

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 75 mm ve uzunluğu 3 m; BC parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 2,5 m’dir. Serbest uç C’de 500 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φC değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md1 = 75 mm, L1 = 3 md2 = 30 mm, L2 = 2,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 30 mmT0​ = 100 N·mACBa = 2,5 mb = 3 m

30 mm çaplı dolu bir alüminyum mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 2,5 m ve B’den 3 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

d = 30 mmT0 = 100 N·ma = 2,5 mb = 3 m
τmax = MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 3 kN/mABkesit2,5 m3,5 m

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 3 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 2,5 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
35 kN30 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 0 m30 kN @ 12 m40 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
1602601410xboyutlar mm cinsinden

Simetrik bir I kesitin başlıkları 160 mm genişliğinde ve 14 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 260 mm ve gövdesi 10 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti Ix değerini bulun.

B = 160 mmH = 260 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
120 mm240 mm156 mm60 × 50xIx​ = ?

120 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 156 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 120 mmh = 240 mmkesik: 60 × 50 mmdelik merkezi: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 0σy​ = −70τxy​ = −50MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σx = 0 MPaσy = −70 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 20σy​ = 60τxy​ = 40MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = 20 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 12 kN/mδL = 2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mP = 22 kNδL = 3 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 22 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 md = 25 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
P = 30 kNL = 6 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 30 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,104 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/100000 = 0,002069 = 2069 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,002069·1500 mm = 3,104 mm

Cevap

δ = 3,104 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ2 = 17,65 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

2. kesimin payı

F2 = 60000·1,037 × 10⁶/1,246 × 10⁶ = 49916 N

Gerilme

σ2 = 49916/2827 = 17,65 MPa (basınç)

Cevap

σ2 = 17,65 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: φC = 11,6 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J1 = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 500000·3000/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,006036 rad
φBC = 500000·2500/(80000·79522) = 0,1965 rad

Toplam burulma

φC = 0,006036 + 0,1965 = 0,2025 rad = 11,6°

Cevap

φC = 11,6°
4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 10,29 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·3/5,5 = 54,55 N·m
TB = 100·2,5/5,5 = 45,45 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İki torktan büyük olanı belirleyicidir (aynı çap).

τmax = 16·54545/(π·30³) = 10,29 MPa

Cevap

τmax = 10,29 MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 13,13 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 9RB​ = 9kesit2,5 m3,5 m

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 9·2,5 − 3·2,5·1,25 = 13,13 kN·m

Cevap

Mx = 13,13 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 56,25 kN, R2 = 48,75 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −70 kN·m, MC = −27,5, MD = 15, ME = −22,5, MF = −60, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −70 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 78,26 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − tw) genişliğinde ve hw = H − 2tf yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

hw = 260 − 2·14 = 232 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·260³ − 150·232³)/12
Ix = 7,826 × 10⁷ mm⁴ = 78,26 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 78,26 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 133,3 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (28800·120 − 3000·156)/(28800 − 3000) = 115,8 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·240³/12 + 28800·4,186² = 138,7 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·50³/12 + 3000·40,19² = 5,47 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 133,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 133,3 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θp = −27,5 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCσ1​σ2​

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θp = atan2(2·−50, 0 − −70) = −55,01°

Elemandaki açı

θp = −27,5°

Cevap

θp = −27,5°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = 50,39 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = 40 + −20·0,766 + 40·0,6428 = 50,39 MPa

Cevap

σθ = 50,39 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 3,468 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 3,468 mm

Cevap

δmax = 3,468 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 24,78 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 22000·3000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 14,73 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 10,04 mm

Toplayın

δmax = 14,73 + 10,04 = 24,78 mm

Cevap

δmax = 24,78 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 3,09 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3500² = 3090 N = 3,09 kN

Cevap

Pcr = 3,09 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: d = 102,7 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 102,7 mm

Cevap

d = 102,7 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 467,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials