Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 200 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 80 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 400 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,7 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 40 MPa değerini aşmadan 1450 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 3 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 25 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen solundaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mM₀ = 25 kN·m saat yönünde, konumu 3 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

55 kN @ 0 m35 kN @ 12 m30 kN @ 4 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 120 × 16 mm üst başlığı, 400 mm yüksekliğinde ve 16 mm kalınlığında gövdesi ve 300 × 20 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 120 × 16 mmgövde: 16 × 400 mmalt başlık: 300 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 350 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 77,25 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8,488 × 10⁻⁷ mm/N

Yük

P = 0,25/3,236 × 10⁻⁶ = 77252 N = 77,25 kN

Cevap

P = 77,25 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,689 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·2000/200000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·500/70000 = 5,053 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,689 mm

Cevap

δ = 5,689 mm

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 35,48 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0,7599)) = 35,48 mm

d_i = 0,7·35,48 = 24,84 mm

Cevap

d_o = 35,48 mm

Dolu bir mil d = 32,38 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 20,32 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·40)) = 20,32 mm

Cevap

d = 20,32 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = −18,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/4 = 6,25 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −6,25 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen solundan kesin

Sol parça yalnızca R_A’yı içerir.

M_x = R_A·a = −6,25·3 = −18,75 kN·m

Cevap

M_x = −18,75 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 115 kN, R₂ = 95 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −110, M_C = −20, M_D = −50, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −140 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 36,38 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

gövde: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·265 + 2600·130)/4800 = 191,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·10³/12 + 2200·(265 − 191,9)² = 1,178 × 10⁷ mm⁴

gövde: 10·260³/12 + 2600·(130 − 191,9)² = 2,46 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,178 × 10⁷ + 2,46 × 10⁷ = 3,638 × 10⁷ mm⁴ = 36,38 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 36,38 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 381,5 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1920 mm², y = 428 mm

gövde: A = 6400 mm², y = 220 mm

alt başlık: A = 6000 mm², y = 10 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1920·428 + 6400·220 + 6000·10)/14320 = 159,9 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 120·16³/12 + 1920·268,1² = 1,38 × 10⁸ mm⁴

gövde: 16·400³/12 + 6400·60,1² = 1,085 × 10⁸ mm⁴

alt başlık: 300·20³/12 + 6000·149,9² = 1,35 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,38 × 10⁸ + 1,085 × 10⁸ + 1,35 × 10⁸

I_x = 3,815 × 10⁸ mm⁴ = 381,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 381,5 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 68,01 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−10 − 100)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Cevap

τ_max = 68,01 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 4,183

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −25 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 21,1 MPa, σ₂ = −71,1 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(21,1² − 21,1·(−71,1) + (−71,1)²) = 83,67 MPa

n = 350/83,67 = 4,183

Cevap

n = 4,183

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,04178 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·9,35 × 10¹⁰) = 0,04178 rad

Cevap

θ_A = 0,04178 rad

Bu, 2,394° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 185,6 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·5,327 × 10⁷/100)^1/3 = 185,6 mm

Cevap

h_req = 185,6 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,481 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Cevap

P_cr = 2,481 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 61,41 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 61,41 mm

Cevap

d = 61,41 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 228, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials