Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Matrisler ve determinantlar
2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.Sayısal yöntemlerOrta
Bir aracın sürati her 1 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 6 s’ye kadar aldığı yolu, s, Simpson kuralıyla tahmin edin.
h = 1 sn = 6
s = m
2.Sayısal yöntemlerZor
y2 ≈ y(0,2) değerini tahmin etmek için y′ = e−ty, y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
3.Diziler ve serilerOrta
Dört serinin tam biri yakınsar. Ona tıklayın.
A: Σ (−1)ᵏ/kB: Σ 2ᵏ/k²C: Σ (4/3)ᵏD: Σ 1/√k
1A: Σ (−1)ᵏ/k
2B: Σ 2ᵏ/k²
3C: Σ (4/3)ᵏ
4D: Σ 1/√k
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = ln(1 + x) fonksiyonunun 2. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(0,5) değerini yaklaşık olarak bulun. P₂(0,5) değerini verin.
f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0,5
P₂(0.5) =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.
A = [3 5 −1; −4 −2 2; 1 1 0]
det A =
6.Matrisler ve determinantlarZor
3x − 4y = 0 ve −x − y = −5 sistemini çözün. x'yi bulun.
3x − 4y = 0−x − y = −5
x =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
91 °C’deki bir fincan kahve 24 °C’deki bir odada bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,04 min⁻¹ ile 24 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.
T0 = 91 °CTa = 24 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 24 min
T = °C
8.Diferansiyel denklemlerZor
x > 0 için y(1) = 2 koşuluyla y′ + y/x = 4x başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.
y′ + y/x = 4xy(1) = 2
y(3) =
3Çözeltiler
1.Sayısal yöntemler
Cevap: s = 61,67 m
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Ağırlıklı toplam
7 + 4·5 + 2·4 + 4·10 + 2·16 + 4·15 + 18 = 185
Simpson kuralı
s = (1/3)·185 = 61,67 m
Cevap
s = 61,67 m
2.Sayısal yöntemler
Cevap: y2 = 0,6877
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
C: Σ (4/3)ᵏ → r = 4/3 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.
D: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 olan p-serisi: ıraksar.
Cevap
A: Σ (−1)ᵏ/k
Cevap
A: Σ (−1)ᵏ/k
4.Diziler ve seriler
Cevap: P₂(0.5) = 0,375
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Maclaurin polinomu
P₂(x) = x − 0,5x²
Yerine koyun
P₂(0,5) = 0,5 − 0,125 = 0,375
Cevap
P₂(0,5) = 0,375
Tam değer f(0,5) = 0,405465’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, 0,0304651, küçülür.
5.Matrisler ve determinantlar
Cevap: det A = 6
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
İlk satırın 2×2 minörleri
M₁₁ = −2, M₁₂ = −2, M₁₃ = −2
Kofaktör açılımı
det A = 3·(−2) − 5·(−2) + (−1)·(−2) = 6
Cevap
det A = 6
6.Matrisler ve determinantlar
Cevap: x = 2,857
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Katsayılar matrisinin determinantı
det A = 3·(−1) − (−4)·(−1) = −7
x sütununu değiştirin
det Aₓ = 0·(−1) − (−4)·(−5) = −20
x = −20/(−7) = 2,857
Cevap
x = 2,857
y = 2,143
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: T = 49,65 °C
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma yasasının çözümü
T(t) = 24 + 67·e−0,04t
t’yi yerine koyun
T(24) = 24 + 67·0,3829 = 49,65 °C
Cevap
T = 49,65 °C
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(3) = 12,22
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.