Sayısal Yöntemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Matrisler ve determinantlar

2×2 determinant: det = ad − bc
2×2 ters matris: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Özdeğerler: det(A − λI) = 0
Cramer kuralı: x_i = det(A_i)/det(A)

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.Sayısal yöntemlerOrta

Yamuk kuralı ∫₀¹ sin x dx için kullanılıyor. Hata en çok (b − a)³·M/(12n²)’dir; M = [0, 1] üzerinde max|f″|. Hatanın 0,0001 değerinin altında olmasını garanti eden en küçük şerit sayısını, n, bulun.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001

n =

2.Sayısal yöntemlerZor

y₅ ≈ y(1) değerini tahmin etmek için y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,2 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2

y₅ =

3.Diziler ve serilerOrta

S = Σ_k=1^∞ 4/(k(k + 4)) toplamını bulun.

a_k = 4/(k(k + 4))

S =

4.Diziler ve serilerZor

Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/k!.

a_k = (−1)ᵏ/k!

S =

5.Matrisler ve determinantlarOrta

Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.

A = [1 2 0; −2 3 −4; 1 5 3]

det A =

6.Matrisler ve determinantlarZor

−6x − 3y = −9 ve −2x + 2y = −11 sistemini çözün. x'yi bulun.

−6x − 3y = −9−2x + 2y = −11

x =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

3 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 24 °C’deki bir odaya alınıyor. 9 dakika sonra sıcaklığı 8 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 7 °C’ye ulaşır?

T₀ = 3 °CT_a = 24 °CT(9) = 8 °CT = 7 °C

t = min

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 1 koşuluyla y′ + 3y/x = x başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 3y/x = xy(1) = 1

y(2) =

3Çözeltiler

1.Sayısal yöntemler

Cevap: n = 27

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

İkinci türev sınırı

M = sin 1 = 0,8415

n'yi çözün

n² > 1·0,8415/(12·0,0001) = 701,2

n > 26,48 → n = 27

Cevap

n = 27

2.Sayısal yöntemler

Cevap: y₅ = 1,41

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 0,5 + 0,2·(0,75) = 0,65

y₂ = 0,65 + 0,2·(0,8775) = 0,8255

y₃ = 0,8255 + 0,2·(0,96955) = 1,01941

y₄ = 1,01941 + 0,2·(0,999623) = 1,219335

y₅ = 1,219335 + 0,2·(0,951892) = 1,409713

Grafik

y₅ = 1,41

Cevap

y₅ = 1,41

Tam değer y(1) = 1,422469’dir.

3.Diziler ve seriler

Cevap: S = 2,083

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Kısmi kesirler

4/(k(k + 4)) = (4/4)·(1/k − 1/(k + 4))

İptal

S = (4/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,083

Cevap

S = 2,083

4.Diziler ve seriler

Cevap: S = 0,3679

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Standart seriler

Σ xᵏ/k! = eˣ

Yerine koyun

x = −1

S = e⁻¹ = 0,3679

Cevap

S = 0,3679

5.Matrisler ve determinantlar

Cevap: det A = 33

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

İlk satırın 2×2 minörleri

M₁₁ = 29, M₁₂ = −2, M₁₃ = −13

Kofaktör açılımı

det A = 1·29 − 2·(−2) + 0·(−13) = 33

Cevap

det A = 33

6.Matrisler ve determinantlar

Cevap: x = 2,833

Katsayılar matrisinin determinantı

det A = (−6)·2 − (−3)·(−2) = −18

x sütununu değiştirin

det Aₓ = (−9)·2 − (−3)·(−11) = −51

x = −51/(−18) = 2,833

Cevap

x = 2,833

y = −2,667

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 6,994 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(-21/-16)/9 = 0,03021 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(-21/(−17))/0,03021 = 6,994 min

Cevap

t = 6,994 min

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 0,9

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫3/x dx} = x³

İntegral alın

(x³y)′ = x⁴ → x³y = 1x⁵/5 + C

Başlangıç koşulu

1 = 1/5 + C → C = 0,8

Hesaplayın

y(2) = (1·2⁵/5 + 0,8)/2³ = 0,9

Cevap

y(2) = 0,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods