Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Matrisler ve determinantlar
2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.Sayısal yöntemlerOrta
∫02 √(1 + x³) dx integralini n = 5 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 5
T =
2.Sayısal yöntemlerZor
y3 ≈ y(0,3) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = −1 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1
y3 =
3.Diziler ve serilerOrta
Dört serinin tam biri ıraksar. Ona tıklayın.
A: Σ 5/k⁴B: Σ (−1)ᵏ/√kC: Σ k²/2ᵏD: Σ (5/4)ᵏ
1A: Σ 5/k⁴
2B: Σ (−1)ᵏ/√k
3C: Σ k²/2ᵏ
4D: Σ (5/4)ᵏ
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = e0,5x fonksiyonunun 2. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(−1,5) değerini yaklaşık olarak bulun. P₂(−1,5) değerini verin.
f(x) = e0,5xn = 2x = −1,5
P₂(−1.5) =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
Gösterilen matrisler için C = AB olsun. c11 elemanını bulun (satır 1, sütun 1).
A = [6 2; 2 −5]B = [3 −3; 1 6]
c11 =
6.Matrisler ve determinantlarZor
Gösterilen A matrisinin büyük özdeğeri λ'ı bulun.
A = [2 −3; 1 6]
λ =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
y″ + 6y′ + 5y = 0 denklemini y(0) = 2 ve y′(0) = -2 ile çözün. y(1) değerini bulun.
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
D: Σ (5/4)ᵏ → r = 5/4 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.
Cevap
D: Σ (5/4)ᵏ
Cevap
D: Σ (5/4)ᵏ
4.Diziler ve seriler
Cevap: P₂(−1.5) = 0,5313
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Maclaurin polinomu
P₂(x) = 1 + 0,5x + 0,125x²
Yerine koyun
P₂(−1,5) = 1 − 0,75 + 0,28125 = 0,5313
Cevap
P₂(−1,5) = 0,5313
Tam değer f(−1,5) = 0,472367’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, −0,0588834, küçülür.
5.Matrisler ve determinantlar
Cevap: c11 = 20
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Satır çarpı sütun
c11 = 6·3 + 2·1 = 20
Cevap
c11 = 20
6.Matrisler ve determinantlar
Cevap: λ = 5
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Karakteristik denklem
λ² − (8)λ + (15) = 0
Çözün
λ = (8 ± √(4))/2 → λ = 3, 5
λ = 5
Cevap
λ = 5
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(1) = 0,7358
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Karakteristik kökler
(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5
Başlangıç değerlerinden sabitler
A + B = 2, −1A − 5B = -2
A = 2, B = 0
Hesaplayın
y(1) = 2·e−1 + 0·e−5 = 0,7358
Cevap
y(1) = 0,7358
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(0.25) = 7,371
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.