Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Matrisler ve determinantlar
2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.Sayısal yöntemlerOrta
∫02 √x·e−x dx integralini n = 2 şeritli Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. S değerini verin.
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.Sayısal yöntemlerZor
y5 ≈ y(2,5) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y5 =
3.Diziler ve serilerOrta
Dört serinin tam biri yakınsar. Ona tıklayın.
A: Σ 1/√kB: Σ (k + 5)/k²C: Σ (5/3)ᵏD: Σ k³/3ᵏ
1A: Σ 1/√k
2B: Σ (k + 5)/k²
3C: Σ (5/3)ᵏ
4D: Σ k³/3ᵏ
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = ln x fonksiyonunun a = 3 civarındaki Taylor serisinde (x − 3)⁴ teriminin katsayısını, c₄, bulun.
f(x) = ln xa = 3k = 4
c₄ =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.
A = [5 2 −4; 3 5 −2; −3 2 3]
det A =
6.Matrisler ve determinantlarZor
−x − 4y = −6 ve x − 6y = −11 sistemini çözün. x'yi bulun.
−x − 4y = −6x − 6y = −11
x =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
400 °C’deki dövme çelik bir parça 24 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,01 min⁻¹ ile 47 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.
T0 = 400 °CTa = 24 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 47 min
T = °C
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir tankta, içinde 10 kg tuz çözünmüş 400 L su var. Litre başına 0,2 kg tuz içeren tuzlu su 4 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. Kaç dakika t sonra tankta 45 kg tuz bulunur?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3Çözeltiler
1.Sayısal yöntemler
Cevap: S = 0,5543
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Düğümler ve değerler
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,367879 + 0,191393 = 1,662911
Simpson kuralı
S = (1/3)·1,662911 = 0,5543
Cevap
S = 0,5543
Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.
2.Sayısal yöntemler
Cevap: y5 = 3,762
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Euler adımları
y₁ = 1 + 0,5·(1) = 1,5
y₂ = 1,5 + 0,5·(1,681639) = 2,340819
y₃ = 2,340819 + 0,5·(1,717895) = 3,199767
y₄ = 3,199767 + 0,5·(0,00380483) = 3,201669
y₅ = 3,201669 + 0,5·(1,119864) = 3,761601
Grafik
y5 = 3,762
Cevap
y5 = 3,762
3.Diziler ve seriler
Cevap: D: Σ k³/3ᵏ
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Her seriyi sınayın
A: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 olan p-serisi: ıraksar.
B: Σ (k + 5)/k² → Büyük k için 1/k gibi davranır: harmonik seriyle karşılaştırmayla ıraksar.
C: Σ (5/3)ᵏ → r = 5/3 > 1 olan geometrik seri: terimler büyür; bu yüzden ıraksar.
D: Σ k³/3ᵏ → Oran testi: L = 1/3 < 1, yakınsar.
Cevap
D: Σ k³/3ᵏ
Cevap
D: Σ k³/3ᵏ
4.Diziler ve seriler
Cevap: c₄ = −0,003086
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴
Katsayı
c₄ = f⁽⁴⁾(3)/4! = −6/(3⁴·24) = −0,003086
c₄ = −0,003086
Cevap
c₄ = −0,003086
5.Matrisler ve determinantlar
Cevap: det A = 5
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
İlk satırın 2×2 minörleri
M₁₁ = 19, M₁₂ = 3, M₁₃ = 21
Kofaktör açılımı
det A = 5·19 − 2·3 + (−4)·21 = 5
Cevap
det A = 5
6.Matrisler ve determinantlar
Cevap: x = −0,8
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Katsayılar matrisinin determinantı
det A = (−1)·(−6) − (−4)·1 = 10
x sütununu değiştirin
det Aₓ = (−6)·(−6) − (−4)·(−11) = −8
x = −8/10 = −0,8
Cevap
x = −0,8
y = 1,7
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: T = 259 °C
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma yasasının çözümü
T(t) = 24 + 376·e−0,01t
t’yi yerine koyun
T(47) = 24 + 376·0,625 = 259 °C
Cevap
T = 259 °C
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 69,31 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.