Sayısal Yöntemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Matrisler ve determinantlar

2×2 determinant: det = ad − bc
2×2 ters matris: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Özdeğerler: det(A − λI) = 0
Cramer kuralı: x_i = det(A_i)/det(A)

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀³ √x·e^−x dx integralini n = 5 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 5

T =

2.Sayısal yöntemlerZor

y₅ ≈ y(2,5) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = 3 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5

y₅ =

3.Diziler ve serilerOrta

Dört serinin tam biri yakınsar. Ona tıklayın.

A: Σ 1/√kB: Σ k/(k + 3)C: Σ 1/(2ᵏ + k)D: Σ (k + 1)/k²

1A: Σ 1/√k
2B: Σ k/(k + 3)
3C: Σ 1/(2ᵏ + k)
4D: Σ (k + 1)/k²

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = 1/x fonksiyonunun a = 1 civarındaki Taylor serisinde (x − 1)³ teriminin katsayısını, c₃, bulun.

f(x) = 1/xa = 1k = 3

c₃ =

5.Matrisler ve determinantlarOrta

Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.

A = [−5 1 −3; −1 5 1; −4 −3 −4]

det A =

6.Matrisler ve determinantlarZor

Gösterilen A matrisinin büyük özdeğeri λ'ı bulun.

A = [−2 4; 3 2]

λ =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

6 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 26 °C’deki bir odaya alınıyor. 10 dakika sonra sıcaklığı 13 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 19 °C’ye ulaşır?

T₀ = 6 °CT_a = 26 °CT(10) = 13 °CT = 19 °C

t = min

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = −1 koşuluyla y′ + 2y/x = x başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 2y/x = xy(1) = −1

y(2) =

3Çözeltiler

1.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 0,6963

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,6

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,425108 + 2·0,329942 + 2·0,221772 + 2·0,14054 + 0,0862337 = 2,320955

Yamuk kuralı

T = (0,6/2)·2,320955 = 0,6963

Cevap

T = 0,6963

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

2.Sayısal yöntemler

Cevap: y₅ = 0,057

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 3 + 0,5·(−2) = 2

y₂ = 2 + 0,5·(−1,122417) = 1,438791

y₃ = 1,438791 + 0,5·(−0,898489) = 0,989547

y₄ = 0,989547 + 0,5·(−0,91881) = 0,530142

y₅ = 0,530142 + 0,5·(−0,946289) = 0,0569976

Grafik

y₅ = 0,057

Cevap

y₅ = 0,057

3.Diziler ve seriler

Cevap: C: Σ 1/(2ᵏ + k)

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Her seriyi sınayın

A: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 olan p-serisi: ıraksar.

B: Σ k/(k + 3) → Terimler 0’a değil 1’e gider: n. terim testiyle ıraksar.

C: Σ 1/(2ᵏ + k) → (1/2)ᵏ’den küçüktür, yakınsak bir geometrik seri: karşılaştırmayla yakınsar.

D: Σ (k + 1)/k² → Büyük k için 1/k gibi davranır: harmonik seriyle karşılaştırmayla ıraksar.

Cevap

C: Σ 1/(2ᵏ + k)

Cevap

C: Σ 1/(2ᵏ + k)

4.Diziler ve seriler

Cevap: c₃ = −1

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Türev f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

Katsayı

c₃ = −6/(1⁴·6) = −1

c₃ = −1

Cevap

c₃ = −1

5.Matrisler ve determinantlar

Cevap: det A = 8

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

İlk satırın 2×2 minörleri

M₁₁ = −17, M₁₂ = 8, M₁₃ = 23

Kofaktör açılımı

det A = (−5)·(−17) − 1·8 + (−3)·23 = 8

Cevap

det A = 8

6.Matrisler ve determinantlar

Cevap: λ = 4

Karakteristik denklem

λ² − (0)λ + (−16) = 0

Çözün

λ = (0 ± √(64))/2 → λ = −4, 4

λ = 4

Cevap

λ = 4

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 24,37 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(-20/-13)/10 = 0,04308 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(-20/(−7))/0,04308 = 24,37 min

Cevap

t = 24,37 min

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 0,6875

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫2/x dx} = x²

İntegral alın

(x²y)′ = x³ → x²y = 1x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

−1 = 1/4 + C → C = −1,25

Hesaplayın

y(2) = (1·2⁴/4 + (−1,25))/2² = 0,6875

Cevap

y(2) = 0,6875

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods