Sayısal Yöntemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Matrisler ve determinantlar

2×2 determinant: det = ad − bc
2×2 ters matris: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Özdeğerler: det(A − λI) = 0
Cramer kuralı: x_i = det(A_i)/det(A)

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.Sayısal yöntemlerOrta

Bir aracın sürati her 1 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 6 s’ye kadar aldığı yolu, s, yamuk kuralıyla tahmin edin.

h = 1 sn = 6

s = m

2.Sayısal yöntemlerZor

y₅ ≈ y(2,5) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = −1 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5

y₅ =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ (x − 3)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ) kuvvet serisi x₀ = 3 çevresindeki bir aralıkta yakınsar. Bu aralığın sağ ucunu, x, bulun.

Σ (x − 3)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ)x₀ = 3

x =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = ln x fonksiyonunun a = 1 civarındaki Taylor serisinde (x − 1)³ teriminin katsayısını, c₃, bulun.

f(x) = ln xa = 1k = 3

c₃ =

5.Matrisler ve determinantlarOrta

Gösterilen matrisler için C = AB olsun. c₂₁ elemanını bulun (satır 2, sütun 1).

A = [0 0; 2 −3]B = [−5 1; 1 3]

c₂₁ =

6.Matrisler ve determinantlarZor

−6x − y = −11 ve −5x − 6y = −5 sistemini çözün. x'yi bulun.

−6x − y = −11−5x − 6y = −5

x =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 6y′ + 9y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = -2 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1.5) =

8.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 2 koşuluyla y′ + 3y = 9e^−2t denklemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 3y = 9e^−2ty(0) = 2

y(2) =

3Çözeltiler

1.Sayısal yöntemler

Cevap: s = 68 m

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Ağırlıklı toplam

2 + 2·6 + 2·12 + 2·16 + 2·14 + 2·12 + 14 = 136

Yamuk kuralı

s = (1/2)·136 = 68 m

Cevap

s = 68 m

2.Sayısal yöntemler

Cevap: y₅ = −0,068

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = −1 + 0,5·(2) = 0

y₂ = 0 + 0,5·(0,877583) = 0,438791

y₃ = 0,438791 + 0,5·(0,101511) = 0,489547

y₄ = 0,489547 + 0,5·(−0,41881) = 0,280142

y₅ = 0,280142 + 0,5·(−0,696289) = −0,0680024

Grafik

y₅ = −0,068

Cevap

y₅ = −0,068

3.Diziler ve seriler

Cevap: x = 3,5

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

c_k/c_k+1 = (1/2)·((k + 1)/k)² → 0,5

Yarıçap

R = 0,5

Aralık

2,5 < x < 3,5

x = 3,5

Cevap

x = 3,5

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

4.Diziler ve seriler

Cevap: c₃ = 0,3333

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Türev f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = 2/x³

Katsayı

c₃ = f⁽³⁾(1)/3! = 2/(1³·6) = 0,3333

c₃ = 0,3333

Cevap

c₃ = 0,3333

5.Matrisler ve determinantlar

Cevap: c₂₁ = −13

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

Satır çarpı sütun

c₂₁ = 2·(−5) + (−3)·1 = −13

Cevap

c₂₁ = −13

6.Matrisler ve determinantlar

Cevap: x = 1,968

Katsayılar matrisinin determinantı

det A = (−6)·(−6) − (−1)·(−5) = 31

x sütununu değiştirin

det Aₓ = (−11)·(−6) − (−1)·(−5) = 61

x = 61/31 = 1,968

Cevap

x = 1,968

y = −0,8065

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,2722

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Çift kök

(r + 3)² = 0 → r = −3

Sabitler

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 15 = 13

Hesaplayın

y(1,5) = (5 + 13·1,5)·e^−4,5 = 0,2722

Cevap

y(1,5) = 0,2722

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 0,1475

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 9e^t

Genel çözüm

y = 9/1·e^−2t + C·e^−3t = 9·e^−2t + C·e^−3t

Başlangıç koşulu

2 = 9 + C → C = −7

Hesaplayın

y(2) = 9·0,01832 + (−7)·0,002479 = 0,1475

Cevap

y(2) = 0,1475

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods