Sayısal Yöntemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

  1. Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
  2. Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
  3. Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
  4. Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

  1. Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
  2. Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
  3. Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
  4. Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Matrisler ve determinantlar

2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.Sayısal yöntemlerOrta
xy00,33330,66671

∫01 sin(x²) dx integralini n = 3 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 3
T =
2.Sayısal yöntemlerZor
00,5123ty(0, 3)

y5 ≈ y(1) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = 3 üzerinde h = 0,2 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,2
y5 =
3.Diziler ve serilerOrta
k|aₖ₊₁/aₖ|123456789101112

Σk=1∞ kᵏ/(3ᵏ·k!) serisine oran testini uygulayın. L = lim |ak+1/ak| değerini bulun.

ak = kᵏ/(3ᵏ·k!)
L =
4.Diziler ve serilerZor

Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σk=1∞ k·(−0,5)ᵏ.

ak = k·(−0,5)ᵏ
S =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
A =5−34−1B =6−3−4−6

Gösterilen matrisler için C = AB olsun. c11 elemanını bulun (satır 1, sütun 1).

A = [5 −3; 4 −1]B = [6 −3; −4 −6]
c11 =
6.Matrisler ve determinantlarZor
A =35−4−5b =411

3x + 5y = 4 ve −4x − 5y = 11 sistemini çözün. x'yi bulun.

3x + 5y = 4−4x − 5y = 11
x =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
t (min)T (°C)16Ta​56 °C34 °C

86 °C’deki bir fincan kahve 22 °C’deki bir odada bırakılıyor. 16 dakika sonra sıcaklığı 56 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 34 °C’ye ulaşır?

T0 = 86 °CTa = 22 °CT(16) = 56 °CT = 34 °C
t = min
8.Diferansiyel denklemlerZor
xy13(1, 2)y(3) = ?

x > 0 için y(1) = 2 koşuluyla y′ + 2y/x = 6x2 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 2y/x = 6x2y(1) = 2
y(3) =

3Çözeltiler

1.Sayısal yöntemler

Cevap: T = 0,3205

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

ixᵢf(xᵢ)ağırlık000110,3333330,110883220,6666670,4299562310,8414711

Düğümler ve değerler

h = 0,3333
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,110883 + 2·0,429956 + 0,841471 = 1,923149

Yamuk kuralı

T = (0,3333/2)·1,923149 = 0,3205

Cevap

T = 0,3205

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

2.Sayısal yöntemler

Cevap: y5 = 1,555

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁003−22,610,22,6−1,6199332,27601320,42,276013−1,3549522,00502330,62,005023−1,1796871,76908540,81,769085−1,0723791,55461

Euler adımları

y₁ = 3 + 0,2·(−2) = 2,6
y₂ = 2,6 + 0,2·(−1,619933) = 2,276013
y₃ = 2,276013 + 0,2·(−1,354952) = 2,005023
y₄ = 2,005023 + 0,2·(−1,179687) = 1,769085
y₅ = 1,769085 + 0,2·(−1,072379) = 1,55461
00,5123ty

Grafik

y5 = 1,555

Cevap

y5 = 1,555
3.Diziler ve seriler

Cevap: L = 0,9061

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Ardışık terimlerin oranı

|ak+1/ak| = (1 + 1/k)ᵏ/3 → e/3

Sonuç

L = 0,9061 < 1

Cevap

L = 0,9061

L < 1; bu yüzden seri yakınsar.

4.Diziler ve seriler

Cevap: S = −0,2222

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Standart seriler

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

Yerine koyun

x = −0,5
S = −0,5/(1 − (−0,5))² = −0,2222

Cevap

S = −0,2222
5.Matrisler ve determinantlar

Cevap: c11 = 42

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

Satır çarpı sütun

c11 = 5·6 + (−3)·(−4) = 42

Cevap

c11 = 42
6.Matrisler ve determinantlar

Cevap: x = −15

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

Katsayılar matrisinin determinantı

det A = 3·(−5) − 5·(−4) = 5

x sütununu değiştirin

det Aₓ = 4·(−5) − 5·11 = −75
x = −75/5 = −15

Cevap

x = −15
y = 9,8
7.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 42,34 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(64/34)/16 = 0,03953 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(64/12)/0,03953 = 42,34 min

Cevap

t = 42,34 min
8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 32,49

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e∫2/x dx = x2

İntegral alın

(x2y)′ = 6x4 → x2y = 6x5/5 + C

Başlangıç koşulu

2 = 6/5 + C → C = 0,8

Hesaplayın

y(3) = (6·35/5 + 0,8)/32 = 32,49

Cevap

y(3) = 32,49

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods