Sayısal Yöntemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Matrisler ve determinantlar

2×2 determinant: det = ad − bc
2×2 ters matris: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Özdeğerler: det(A − λI) = 0
Cramer kuralı: x_i = det(A_i)/det(A)

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.Sayısal yöntemlerOrta

Yamuk kuralı ∫₀¹ eˣ dx için kullanılıyor. Hata en çok (b − a)³·M/(12n²)’dir; M = [0, 1] üzerinde max|f″|. Hatanın 0,0005 değerinin altında olmasını garanti eden en küçük şerit sayısını, n, bulun.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005

n =

2.Sayısal yöntemlerZor

y₂ ≈ y(0,2) değerini tahmin etmek için y′ = e^−ty, y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,1

y₂ =

3.Diziler ve serilerOrta

S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 3)) toplamını bulun.

a_k = 3/(k(k + 3))

S =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = cos(2x) fonksiyonunun 2. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(−0,5) değerini yaklaşık olarak bulun. P₂(−0,5) değerini verin.

f(x) = cos(2x)n = 2x = −0,5

P₂(−0.5) =

5.Matrisler ve determinantlarOrta

Gösterilen matrisler için C = AB olsun. c₁₁ elemanını bulun (satır 1, sütun 1).

A = [−1 3; −6 1]B = [5 1; 4 −4]

c₁₁ =

6.Matrisler ve determinantlarZor

−6x − 6y = −7 ve 6x + 5y = 9 sistemini çözün. x'yi bulun.

−6x − 6y = −76x + 5y = 9

x =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 8y′ + 15y = 0 denklemini y(0) = 4 ve y′(0) = 6 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 4y′(0) = 6

y(1.5) =

8.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 4 koşuluyla y′ + 0,5y = 4e^−3t denklemini çözün. y(1,5) değerini bulun.

y′ + 0,5y = 4e^−3ty(0) = 4

y(1.5) =

3Çözeltiler

1.Sayısal yöntemler

Cevap: n = 22

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

İkinci türev sınırı

M = e¹ = 2,718

n'yi çözün

n² > 1·2,718/(12·0,0005) = 453

n > 21,28 → n = 22

Cevap

n = 22

2.Sayısal yöntemler

Cevap: y₂ = 0,6877

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(1 + 0,941765) = 0,597088

y₂ = 0,597088 + (0,1/2)(0,942039 + 0,870874) = 0,687734

Grafik

y₂ = 0,6877

Cevap

y₂ = 0,6877

3.Diziler ve seriler

Cevap: S = 1,833

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Kısmi kesirler

3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))

İptal

S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833

Cevap

S = 1,833

4.Diziler ve seriler

Cevap: P₂(−0.5) = 0,5

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Maclaurin polinomu

P₂(x) = 1 − 2x²

Yerine koyun

P₂(−0,5) = 1 − 0,5 = 0,5

Cevap

P₂(−0,5) = 0,5

Tam değer f(−0,5) = 0,540302’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, 0,0403023, küçülür.

5.Matrisler ve determinantlar

Cevap: c₁₁ = 7

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

Satır çarpı sütun

c₁₁ = (−1)·5 + 3·4 = 7

Cevap

c₁₁ = 7

6.Matrisler ve determinantlar

Cevap: x = 3,167

Katsayılar matrisinin determinantı

det A = (−6)·5 − (−6)·6 = 6

x sütununu değiştirin

det Aₓ = (−7)·5 − (−6)·9 = 19

x = 19/6 = 3,167

Cevap

x = 3,167

y = −2

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,1394

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 4, −3A − 5B = 6

A = 13, B = −9

Hesaplayın

y(1,5) = 13·e^−4,5 + (−9)·e^−7,5 = 0,1394

Cevap

y(1,5) = 0,1394

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 2,627

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 4e^−2,5t

Genel çözüm

y = 4/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −1,6·e^−3t + C·e^−0,5t

Başlangıç koşulu

4 = −1,6 + C → C = 5,6

Hesaplayın

y(1,5) = −1,6·0,01111 + 5,6·0,4724 = 2,627

Cevap

y(1,5) = 2,627

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods