Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Matrisler ve determinantlar
2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.Sayısal yöntemlerOrta
∫02 eˣ dx integralini n = 2 ile Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |S − I|, bulun.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Sayısal yöntemlerZor
y′ = y(2 − y), y(0) = 1 denklemini Euler yöntemiyle h = 0,1 adımıyla t = 0,4 değerine kadar çözün. Tam çözüm y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t)’dür. Genel hatayı, |E| = |y(0,4) − y4|, bulun.
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1
|E| =
3.Diziler ve serilerOrta
S = Σk=1∞ 3/(k(k + 3)) toplamını bulun.
ak = 3/(k(k + 3))
S =
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = e3x fonksiyonunun a = 1 civarındaki Taylor serisinde (x − 1)² teriminin katsayısını, c₂, bulun.
f(x) = e3xa = 1k = 2
c₂ =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.
A = [−1 1 −1; −2 −2 5; −1 2 −2]
det A =
6.Matrisler ve determinantlarZor
−3x − 6y = 2 ve 5x − 3y = −7 sistemini çözün. x'yi bulun.
−3x − 6y = 25x − 3y = −7
x =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
y″ + 4y′ + 4y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = 0 ile çözün. y(2) değerini bulun.
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(2) =
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 4y′ + 20y = 100 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. Basamak tepkisinin tepe değerini ymax bulun.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Çözeltiler
1.Sayısal yöntemler
Cevap: |E| = 0,03167
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Tam değer
I = 6,389056
Simpson kuralı
S = (1/3)·(1 + 4·2,718282 + 7,389056) = 6,420728
Hata
|E| = |6,420728 − 6,389056| = 0,03167
Cevap
|E| = 0,03167
Bağıl hata: %0,4957.
2.Sayısal yöntemler
Cevap: |E| = 0,006386
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Kısmi kesirler
3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))
İptal
S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833
Cevap
S = 1,833
4.Diziler ve seriler
Cevap: c₂ = 90,38
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 3²·e3x
Katsayı
c₂ = 3²·e3/2! = 90,38
c₂ = 90,38
Cevap
c₂ = 90,38
5.Matrisler ve determinantlar
Cevap: det A = 3
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
İlk satırın 2×2 minörleri
M₁₁ = −6, M₁₂ = 9, M₁₃ = −6
Kofaktör açılımı
det A = (−1)·(−6) − 1·9 + (−1)·(−6) = 3
Cevap
det A = 3
6.Matrisler ve determinantlar
Cevap: x = −1,231
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Katsayılar matrisinin determinantı
det A = (−3)·(−3) − (−6)·5 = 39
x sütununu değiştirin
det Aₓ = 2·(−3) − (−6)·(−7) = −48
x = −48/39 = −1,231
Cevap
x = −1,231
y = 0,2821
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(2) = 0,4579
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Çift kök
(r + 2)² = 0 → r = −2
Sabitler
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 2A → B = 0 + 10 = 10
Hesaplayın
y(2) = (5 + 10·2)·e−4 = 0,4579
Cevap
y(2) = 0,4579
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: ymax = 6,039
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.