Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Matrisler ve determinantlar
2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.Sayısal yöntemlerOrta
Yamuk kuralı ∫01 sin x dx için kullanılıyor. Hata en çok (b − a)³·M/(12n²)’dir; M = [0, 1] üzerinde max|f″|. Hatanın 0,001 değerinin altında olmasını garanti eden en küçük şerit sayısını, n, bulun.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
2.Sayısal yöntemlerZor
y2 ≈ y(1) değerini tahmin etmek için y′ = t + y, y(0) = 1 üzerinde h = 0,5 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = t + yy(0) = 1h = 0,5
y2 =
3.Diziler ve serilerOrta
Σk=1∞ (2k)!·(x − 2)ᵏ/(k!)² kuvvet serisi x₀ = 2 çevresindeki bir aralıkta yakınsar. Bu aralığın sağ ucunu, x, bulun.
Σ (2k)!·(x − 2)ᵏ/(k!)²x₀ = 2
x =
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = cos x, x = 2 noktasında n. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. M = 1 ile Lagrange sınırı M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanarak, hatanın 1 × 10⁻⁶ değerinin altında olmasını garanti eden en küçük dereceyi, n, bulun.
f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.
A = [2 1 −2; 1 −1 2; 4 −4 1]
det A =
6.Matrisler ve determinantlarZor
Gösterilen A matrisinin büyük özdeğeri λ'ı bulun.
A = [−2 6; −2 5]
λ =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
3 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 24 °C’deki bir odaya alınıyor. 6 dakika sonra sıcaklığı 12 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 19 °C’ye ulaşır?
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
İkinci türev sınırı
M = sin 1 = 0,8415
n'yi çözün
n² > 1·0,8415/(12·0,001) = 70,12
n > 8,374 → n = 9
Cevap
n = 9
2.Sayısal yöntemler
Cevap: y2 = 3,281
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Heun adımları
y₁ = 1 + (0,5/2)(1 + 2) = 1,75
y₂ = 1,75 + (0,5/2)(2,25 + 3,875) = 3,28125
Grafik
y2 = 3,281
Cevap
y2 = 3,281
Tam değer y(1) = 3,436564’dir.
3.Diziler ve seriler
Cevap: x = 2,25
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Katsayılar
ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4; dolayısıyla R = 1/4
Yarıçap
R = 0,25
Aralık
1,75 < x < 2,25
x = 2,25
Cevap
x = 2,25
Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.
4.Diziler ve seriler
Cevap: n = 13
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Artan n için sınırlar
n = 12: 1,316 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 13: 1,879 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
En küçük derece
n = 13
Cevap
n = 13
5.Matrisler ve determinantlar
Cevap: det A = 21
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
İlk satırın 2×2 minörleri
M₁₁ = 7, M₁₂ = −7, M₁₃ = 0
Kofaktör açılımı
det A = 2·7 − 1·(−7) + (−2)·0 = 21
Cevap
det A = 21
6.Matrisler ve determinantlar
Cevap: λ = 2
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Karakteristik denklem
λ² − (3)λ + (2) = 0
Çözün
λ = (3 ± √(1))/2 → λ = 1, 2
λ = 2
Cevap
λ = 2
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 15,39 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma sabiti
k = ln(-21/-12)/6 = 0,09327 min⁻¹
Hedefe ulaşma süresi
t = ln(-21/(−5))/0,09327 = 15,39 min
Cevap
t = 15,39 min
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(1) = 1,527
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.