Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Matrisler ve determinantlar
2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.Sayısal yöntemlerOrta
Bir aracın sürati her 1 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 6 s’ye kadar aldığı yolu, s, yamuk kuralıyla tahmin edin.
h = 1 sn = 6
s = m
2.Sayısal yöntemlerZor
y3 ≈ y(0,6) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = 3 üzerinde h = 0,2 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.
y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,2
y3 =
3.Diziler ve serilerOrta
Σk=1∞ 3ᵏ·k!/kᵏ serisine oran testini uygulayın. L = lim |ak+1/ak| değerini bulun.
ak = 3ᵏ·k!/kᵏ
L =
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = 1/x fonksiyonunun a = 1 civarındaki Taylor serisinde (x − 1)⁴ teriminin katsayısını, c₄, bulun.
f(x) = 1/xa = 1k = 4
c₄ =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
Gösterilen matrisler için C = AB olsun. c11 elemanını bulun (satır 1, sütun 1).
A = [4 −5; −1 −2]B = [1 −6; 4 −4]
c11 =
6.Matrisler ve determinantlarZor
Gösterilen A matrisinin büyük özdeğeri λ'ı bulun.
A = [1 2; 8 1]
λ =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
4 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 25 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,06 min⁻¹ ile 10 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Ardışık terimlerin oranı
|ak+1/ak| = 3·(k/(k + 1))ᵏ = 3/(1 + 1/k)ᵏ → 3/e
Sonuç
L = 1,104 > 1
Cevap
L = 1,104
L > 1; bu yüzden seri ıraksar.
4.Diziler ve seriler
Cevap: c₄ = 1
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = 24/x⁵
Katsayı
c₄ = 24/(1⁵·24) = 1
c₄ = 1
Cevap
c₄ = 1
5.Matrisler ve determinantlar
Cevap: c11 = −16
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Satır çarpı sütun
c11 = 4·1 + (−5)·4 = −16
Cevap
c11 = −16
6.Matrisler ve determinantlar
Cevap: λ = 5
Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.
Karakteristik denklem
λ² − (2)λ + (−15) = 0
Çözün
λ = (2 ± √(64))/2 → λ = −3, 5
λ = 5
Cevap
λ = 5
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: T = 13,47 °C
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma yasasının çözümü
T(t) = 25 + (−21)·e−0,06t
t’yi yerine koyun
T(10) = 25 + (−21)·0,5488 = 13,47 °C
Cevap
T = 13,47 °C
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(1.5) = 2,991
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.