Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Ortalamanın standart hatası ne zaman küçülür?
- AOrtalama arttığında
- BDeğişken sıralama düzeyinde ölçüldüğünde
- CÖrneklem büyüklüğü arttığında
- DÖrneklem büyüklüğü azaldığında
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Psikolojideki "tekrarlanabilirlik krizi" neyi ifade eder?
- AAnketlerin izinsiz kopyalanmasını
- BDeneyler için katılımcı sıkıntısını
- CYayımlanmış birçok bulgunun yeni çalışmalarda tekrarlanamamasını
- DDergilerin yasal olarak gönderilen tüm tekrarlama çalışmalarını reddetmek zorunda olması
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 30, 12, 30, 27.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 92,5 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 70σ = 15x = 92,5
z =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 3
P =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 10. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05Y = −2X + 10
σY =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9596 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9596
z =
8.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 15 ve standart sapması s = 15. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 20x̄ = 15s = 1595%t(19) = 2,093
E =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 8E = 0,590%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 53,6, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 50x̄ = 53,6s = 12n = 49
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 20E = 395%
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 42Σy = 120Σx² = 364Σy² = 2822Σxy = 1010
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 10 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 10
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gündüz vardiyası, küçük kusur” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 88sütun toplamı = 53N = 152
E =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 3 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Örneklem büyüklüğü arttığında
Cevap neden bu
Standart hata, örneklem ortalamalarının evren ortalaması çevresinde ne kadar değiştiğini tahmin eder. Daha büyük örneklemler daha kesin tahminler verir.
Cevap
C · Örneklem büyüklüğü arttığında
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Yayımlanmış birçok bulgunun yeni çalışmalarda tekrarlanamamasını
Cevap neden bu
Büyük tekrarlama projeleri, birçok etkinin daha küçük olduğunu ya da hiç olmadığını buldu; bu, yayın yanlılığı, küçük örneklemler ve esnek analizlerle ilişkilidir. Ön kayıt bir yanıttır.
Cevap
C · Yayımlanmış birçok bulgunun yeni çalışmalarda tekrarlanamamasını
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 8,05
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 117/5 = 23,4
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−5,4)² + 6,6² + (−11,4)² + 6,6² + 3,6² = 259,2
Standart sapma
s = √(259,2/4) = 8,05
Cevap
s = 8,05
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (92,5 − 70)/15 = 1,5
Cevap
z = 1,5
5.Olasılık
Cevap: P = 0,4213
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Cevap
P = 0,4213
6.Olasılık
Cevap: σY = 1,887
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,1, Var(X) = 0,89, σX = 0,9434
Doğrusal değişim
σY = |−2|·0,9434 = 1,887
Cevap
σY = 1,887
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·2,1 + 10 = 5,8.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 2,05
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9596)/2 = 0,9798
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9798 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,05
Cevap
z = 2,05
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9875
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Olasılık
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Cevap
P = 0,9875
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 7,02
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Hata payı
E = 2,093·15/√20 = 7,02
Cevap
E = 7,02
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 693
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·8/0,5)² = 692,7
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 693
Cevap
n = 693
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,1
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Test istatistiği
t = (53,6 − 50)/1,714 = 2,1
Cevap
t = 2,1
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 171
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,96·20/3)² = 170,7
Yukarı yuvarlayın
n = 171
Cevap
n = 171
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9891
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1010 − 42·120/6 = 170
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2822 − 120²/6 = 422
Korelasyon katsayısı
r = 170/√(70·422) = 0,9891
Cevap
r = 0,9891
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 90,13
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 417/6 = 69,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 361
Regresyon doğrusu
b = 361/70 = 5,157
a = 69,5 − 5,157·6 = 38,56
ŷ = 38,56 + 5,157·x
Tahmin
ŷ = 38,56 + 5,157·10 = 90,13
Cevap
ŷ = 90,13
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 30,68
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 88·53/152 = 30,68
Cevap
E = 30,68
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 9,21
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
Tablo
χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210
Cevap
χ²crit = 9,210
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology