Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Tam normal bir dağılımda ne geçerlidir?
- AOrtalama, medyan ve mod eşittir
- BPuanların çoğu uçlardadır
- COrtalama her zaman medyandan büyüktür
- DMod en düşük puandır
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı yeni bir öğretim yönteminin daha iyi notlara neden olup olmadığını test etmek istiyor, ama öğrencileri seçkisiz atayamıyor. Bu durumda hangi desen en güçlü nedensel kanıtı verir?
- ABir karşılaştırma grubuyla, önce ve sonra ölçülen eşleştirilmiş sınıfları karşılaştırmak
- BYalnızca yeni yöntemi kullanan sınıfı öğretimden sonra ölçmek
- CÖğrencilere yöntemin işe yarayıp yaramadığını düşündüklerini sormak
- DNotları öğrencilerin öğretmeni ne kadar sevdiğiyle ilişkilendirmek
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 19, 55, 48, 38, 58, 51.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 57,2'ün üstündedir?
μ = 50σ = 12x = 57,2
P =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 6 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 6
P =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,15 olasılıkla €12, 0,02 olasılıkla €30 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €3€12: p = 0,15€30: p = 0,02
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 16 tanesinin toplam kütlesinin 198,4 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 16< 198.4 kg
P =
8.Normal dağılımZor
A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 18,5 ve standart sapması s = 10. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 20x̄ = 18,5s = 1090%t(19) = 1,729
alt sınır =
10.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 9 parsel, ortalama verim 33 kg, standart sapma 9,5 kg. Parsel grubu 2: 7 parsel, ortalama 30 kg, standart sapma 2 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 9x̄₁ = 33s₁ = 9,5n₂ = 7x̄₂ = 30s₂ = 299%t(14) = 2,977
alt sınır = kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 78,6, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 75x̄ = 78,6s = 15n = 25
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 100 hastadan 40’i, B tedavisi alan 200 hastadan 100’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 100n₂ = 200
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 24 tahmin eder?
n = 5ŷ = 24
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gece vardiyası, kusursuz” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 119sütun toplamı = 50N = 185
E =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
3 × 4
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Ortalama, medyan ve mod eşittir
Cevap neden bu
Normal dağılım simetrik ve çan biçimlidir; bu yüzden üç merkezî eğilim ölçüsünün üçü de merkezde yer alır.
Cevap
A · Ortalama, medyan ve mod eşittir
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Bir karşılaştırma grubuyla, önce ve sonra ölçülen eşleştirilmiş sınıfları karşılaştırmak
Cevap neden bu
Denk olmayan gruplarla ön test-son test deseni başlangıç farklarını ve zaman içindeki değişimi kontrol eder; ancak seçkisiz bir deneyden daha zayıftır.
Cevap
A · Bir karşılaştırma grubuyla, önce ve sonra ölçülen eşleştirilmiş sınıfları karşılaştırmak
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 17,58
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 283/7 = 40,43
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−26,43)² + (−21,43)² + 14,57² + 7,571² + (−2,429)² + 17,57² + 10,57² = 1854
Standart sapma
s = √(1854/6) = 17,58
Cevap
s = 17,58
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2743
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Cevap
P = 0,2743
5.Olasılık
Cevap: P = 0,6651
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Cevap
P = 0,6651
6.Olasılık
Cevap: E(G) = −0,6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 9 (p = 0,15), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)
Beklenen değer
E(G) = 9·0,15 + 27·0,02 − 3·0,83 = −0,6 €
Cevap
E(G) = −0,6 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9772
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 192 kg, σT = 0,8·√16 = 3,2 kg
Standartlaştırın
z = (198,4 − 192)/3,2 = 2
Olasılık
P = Φ(2) = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartlaştırın
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 14,63
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Hata payı
E = 1,729·10/√20 = 3,866
Aralık
18,5 ± 3,866 → [14,63, 22,37]
Cevap
alt sınır = 14,63
10.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −7,952 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (8·9,5² + 6·2²)/14 = 53,29
sp = 7,3
Hata payı
E = 2,977·7,3·√(1/9 + 1/7) = 10,95
Aralık
3 ± 10,95 → [−7,952, 13,95]
Cevap
alt sınır = −7,952 kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,2
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
Test istatistiği
t = (78,6 − 75)/3 = 1,2
Cevap
t = 1,2
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −1,637
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 40/100 = 0,4
p̂₂ = 100/200 = 0,5
p̂ = 140/300 = 0,4667
H₀ altında standart hata
SE = √(0,4667·0,5333·(1/100 + 1/200)) = 0,0611
Test istatistiği
z = (0,4 − 0,5)/0,0611 = −1,637
Cevap
z = −1,637
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,8048
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 200/5 = 40
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 84
Belirlilik katsayısı
r² = 26²/(10·84) = 0,8048
Cevap
r² = 0,8048
y’deki değişimin yaklaşık %80,48’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 1,348
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Regresyon doğrusu
b = −23/10 = −2,3
a = 20,2 − (−2,3)·3 = 27,1
ŷ = 27,1 − 2,3·x
x için çözün
x = (24 − 27,1)/(−2,3) = 1,348
Cevap
x = 1,348
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 32,16
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 119·50/185 = 32,16
Cevap
E = 32,16
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 6
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
Cevap
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology