Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı tüm öğrencilere bir anket gönderiyor, ardından cevaplayanlardan nadir bir uyku uygulamasını kullanan arkadaşlarını da çalışmaya getirmelerini istiyor. İkinci adımda hangi örnekleme yöntemi kullanılıyor?
- ASistematik örnekleme
- BSeçkisiz örnekleme
- CKartopu örnekleme
- DTabakalı örnekleme
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma, daha çok uyuyan öğrencilerin daha yüksek notlar aldığını buluyor. Hangi desen değişikliği nedensel bir sonuca en iyi izin verir?
- AÖğrencileri farklı uyku programlarına seçkisiz atamak
- BDaha çok öğrenciyle anket yapmak
- CNotları daha doğru ölçmek
- DÖğrencilerden uykularını iki kez bildirmelerini isteyip iki bildirimin ortalamasını almak
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 11, 20, 32, 56, 52.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 62'ün altındadır?
μ = 70σ = 8x = 62
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,15, 0,15
σ =
6.OlasılıkZor
5 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,4 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 5p = 0,4
P =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9297 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9297
z =
8.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).
μ = 100σ = 15P = 95%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 7,8. 200 gözleme dayanan %99 aralığın hata payı E₂ nedir?
95%n₁ = 100E₁ = 7,899%n₂ = 200
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 30 milin çaplarının örneklem standart sapması 4,8 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 29 ile χ² dağılımının %2,5’i 16,047 değerinin altında, %2,5’i 45,722 değerinin üstündedir.
n = 30s = 4,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 78,15, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 75x̄ = 78,15s = 12n = 64
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 494. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 494σ = 8n = 1699%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 90Σy = 444Σx² = 1660Σy² = 40606Σxy = 8202
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 1,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 1,5
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 5 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Kartopu örnekleme
Cevap neden bu
Kartopu örnekleme ulaşılması zor gruplar için yararlıdır, ancak örneklem büyük olasılıkla ortak özellikler taşır ve temsili değildir.
Cevap
C · Kartopu örnekleme
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Öğrencileri farklı uyku programlarına seçkisiz atamak
Cevap neden bu
Yalnızca uykuyu seçkisiz atamayla manipüle etmek üçüncü değişkenleri kontrol eder ve etik sınırlar içinde nedensel çıkarıma izin verir.
Cevap
A · Öğrencileri farklı uyku programlarına seçkisiz atamak
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,37
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 185/6 = 30,83
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−16,83)² + (−19,83)² + (−10,83)² + 1,167² + 25,17² + 21,17² = 1877
Standart sapma
s = √(1877/5) = 19,37
Cevap
s = 19,37
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1587
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1
Standart normal tablo
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Cevap
P = 0,1587
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,418
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,15 + 5·0,15 = 2,7
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,15 + 25·0,15 = 9,3
Varyans
Var(X) = 9,3 − 2,7² = 2,01
σ = √2,01 = 1,418
Cevap
σ = 1,418
6.Olasılık
Cevap: P = 0,337
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,65 = 0,07776
P(X = 1) = 5·0,4·0,64 = 0,2592
Toplayın
P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337
Cevap
P = 0,337
7.Normal dağılım
Cevap: z = 1,81
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9297)/2 = 0,9649
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9649 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,81
Cevap
z = 1,81
8.Normal dağılım
Cevap: x = 124,7 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
x’e geri dönüş
x = 100 + 1,645·15 = 124,67 puan
Cevap
x = 124,67 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 7,249
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/200) = 0,9293
Yeni hata payı
E₂ = 7,8·0,9293 = 7,249
Cevap
E₂ = 7,249
10.Güven aralıkları
Cevap: σ = 6,453 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 29·4,8² = 668,2
σ² için sınırlar
668,2/45,722 = 14,61
668,2/16,047 = 41,64
σ için sınır
σ = √41,64 = 6,453 µm
Cevap
σ = 6,453 µm
σ için %95 aralık: [3,823, 6,453] µm.
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,1
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Test istatistiği
t = (78,15 − 75)/1,5 = 2,1
Cevap
t = 2,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 488,8
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 2,576·8/√16 = 5,152
Aralık sınırı
L = 494 − 5,152 = 488,8
Cevap
L = 488,8
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9671
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 8202 − 90·444/5 = 210
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 40606 − 444²/5 = 1179
Korelasyon katsayısı
r = 210/√(40·1179) = 0,9671
Cevap
r = 0,9671
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 20,6
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Regresyon doğrusu
b = −16/10 = −1,6
a = 18,2 − (−1,6)·3 = 23
ŷ = 23 − 1,6·x
Tahmin
ŷ = 23 + (−1,6)·1,5 = 20,6
Cevap
ŷ = 20,6
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 30,98
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
öğrenciler: 80·30/120 = 20, 80·42/120 = 28, 80·48/120 = 32
personel: 40·30/120 = 10, 40·42/120 = 14, 40·48/120 = 16
Ki-kare istatistiği
χ² = (27 − 20)²/20 + (35 − 28)²/28 + (18 − 32)²/32 + (3 − 10)²/10 + (7 − 14)²/14 + (30 − 16)²/16
χ² = 30,98
Cevap
χ² = 30,98
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 11,35
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 5 − 1 − 1 = 3
Tablo
χ²crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345
Cevap
χ²crit = 11,345
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology