Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı tüm öğrencilere bir anket gönderiyor, ardından cevaplayanlardan nadir bir uyku uygulamasını kullanan arkadaşlarını da çalışmaya getirmelerini istiyor. İkinci adımda hangi örnekleme yöntemi kullanılıyor?
- ASistematik örnekleme
- BTabakalı örnekleme
- CKartopu örnekleme
- DSeçkisiz örnekleme
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Dört grubu karşılaştıran tek yönlü bir ANOVA anlamlı çıkıyor. Hangi grupların farklı olduğunu bulmak için araştırmacı sonra ne yapmalıdır?
- AOrtalamalar üzerinde ki-kare testi yapmalıdır
- BDört grubun hepsinin birbirinden farklı olduğu sonucuna varmalıdır
- CSonucu bir korelasyon olarak raporlamalıdır
- DTukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 16, 13, 46, 12, 13.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 160'ün üstündedir?
μ = 170σ = 5x = 160
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,05, 0,2, 0,3
σ =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2Y = −2X − 3
σY =
7.Normal dağılımOrta
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 167,85 ile 188,5 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 178σ = 7x1 = 167,85x2 = 188,5
P =
8.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 2,1. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?
90%n₁ = 36E₁ = 2,199%
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,1 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p ≈ 0,1E = 0,02590%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
20 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,67 ve farkların standart sapması 3,4. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 20d̄ = 1,67sd = 3,4
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 200’a karşı H₁: μ < 200 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 15 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 194.25’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 200μ = 194,25σ = 15n = 36α = 0,01
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 8 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 8
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Tablo gözlenen frekansları gösteriyor. İki değişkenin bağımsız olup olmadığını α = 0,01 düzeyinde test edin (süreklilik düzeltmesi olmadan). Test istatistiği χ² değerini hesaplayın, sonra tablodaki kritik değerle karşılaştırın.
N = 1403 × 2α = 0,01
χ² =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Kartopu örnekleme
Cevap neden bu
Kartopu örnekleme ulaşılması zor gruplar için yararlıdır, ancak örneklem büyük olasılıkla ortak özellikler taşır ve temsili değildir.
Cevap
C · Kartopu örnekleme
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Tukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
Cevap neden bu
Anlamlı bir F tüm ortalamaların eşit olmadığını gösterir. Post hoc testler veya planlı karşılaştırmalar, hata oranını kontrol ederek hangi çiftlerin farklı olduğunu belirler.
Cevap
D · Tukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 14,61
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 100/5 = 20
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−7)² + 26² + (−8)² + (−7)² = 854
Standart sapma
s = √(854/4) = 14,61
Cevap
s = 14,61
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9772
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,503
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,15 + 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,1
Varyans
Var(X) = 7,1 − 2,2² = 2,26
σ = √2,26 = 1,503
Cevap
σ = 1,503
6.Olasılık
Cevap: σY = 2,245
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,2, Var(X) = 1,26, σX = 1,122
Doğrusal değişim
σY = |−2|·1,122 = 2,245
Cevap
σY = 2,245
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·1,2 − 3 = −5,4.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8597
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45
z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5
Aradaki alan
P = Φ(1,5) − Φ(−1,45) = 0,9332 − 0,07353 = 0,8597
Cevap
P = 0,8597
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9875
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Olasılık
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Cevap
P = 0,9875
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 3,289
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566
Yeni hata payı
E₂ = 2,1·1,566 = 3,289
Cevap
E₂ = 3,289
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 390
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,645²·0,1·0,9/0,025² = 389,7
Yukarı yuvarlayın
n = 390
Cevap
n = 390
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,197
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 3,4/√20 = 0,7603
Test istatistiği
t = 1,67/0,7603 = 2,197
Cevap
t = 2,197
df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 48,96 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 200 − 2,326·2,5 = 194,2
Gerçek ortalama altında z
z = (194,2 − 194,25)/2,5 = −0,026
Güç
güç = P(Z < −0.026) = 48.96%
1 − β = 48,96%
Cevap
1 − β = 48,96%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9977
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 344/5 = 68,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1213
Belirlilik katsayısı
r² = 220²/(40·1213) = 0,9977
Cevap
r² = 0,9977
y’deki değişimin yaklaşık %99,77’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 72,15
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 344/5 = 68,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Regresyon doğrusu
b = 134/40 = 3,35
a = 68,8 − 3,35·7 = 45,35
ŷ = 45,35 + 3,35·x
Tahmin
ŷ = 45,35 + 3,35·8 = 72,15
Cevap
ŷ = 72,15
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 5,056
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
öğrenciler: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24
personel: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32
Ki-kare istatistiği
χ² = (12 − 18)²/18 + (20 − 18)²/18 + (28 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (22 − 24)²/24 + (28 − 32)²/32
χ² = 5,056
Cevap
χ² = 5,056
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 1,31
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
hat 1: 12, 28
hat 2: 18, 42
hat 3: 12, 28
Ki-kare istatistiği
χ² = (10 − 12)²/12 + (30 − 28)²/28 + (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42 + (11 − 12)²/12 + (29 − 28)²/28
χ² = 1,31
Karar
df = 2, χ²crit = 9,210
1,31 < 9,210
Cevap
χ² = 1,31
χ² kritik değerin altındadır, bu yüzden H₀ reddedilmez: anlamlı bir ilişki kanıtı yoktur.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology