Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Hakemlerin resimleri sıralaması gibi iki sıralama dizisi arasındaki ilişki için hangi istatistik uygundur?
- ABağımsız t testi
- BKi-kare
- CSpearman rho
- DPearson r
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Birçok araştırmacı neden p değerlerinin etki büyüklükleri ve güven aralıklarıyla birlikte raporlanması gerektiğini savunur?
- AGüven aralıkları yalnızca nitel araştırmada gereklidir
- BEtki büyüklükleri örneklem büyüklüğünü anlamlılık açısından önemsiz kılar
- CP değerleri hipotezin doğru olma olasılığını gösterir
- DBir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 47, 36, 58, 38.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 75 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 440'ün altındadır?
μ = 500σ = 75x = 440
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,25, 0,05, 0,1, 0,3
Var(X) =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 20. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35Y = 10X + 20
σY =
7.Normal dağılımOrta
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 480 ile 534 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 500σ = 40x1 = 480x2 = 534
P =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
11 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 8,6 ve standart sapması 2,4. Ortalama fark için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 11d̄ = 8,6sd = 2,495%t(10) = 2,228
alt sınır = mmHg
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 8E = 0,590%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 118,3, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 120x̄ = 118,3s = 15n = 64
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 300 hastadan 45’i, B tedavisi alan 200 hastadan 50’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 50n₂ = 200
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 15Σy = 118Σx² = 55Σy² = 2812Σxy = 340
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (5, 66) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(5, 66)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1802 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 9 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
k = 9
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Spearman rho
Cevap neden bu
Spearman sıra korelasyonu, iki sıralanmış veya sıralama düzeyindeki değişken arasındaki monoton ilişkinin gücünü ölçer.
Cevap
C · Spearman rho
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Bir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
Cevap neden bu
Bir p değeri büyük ölçüde örneklem büyüklüğüne bağlıdır ve yalnızca sıfır hipotezi altında verilerin ne kadar şaşırtıcı olduğunu gösterir. Etki büyüklükleri büyüklüğü, aralıklar ise kesinliği gösterir.
Cevap
D · Bir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 8,706
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 223/5 = 44,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−0,6)² + 2,4² + (−8,6)² + 13,4² + (−6,6)² = 303,2
Standart sapma
s = √(303,2/4) = 8,706
Cevap
s = 8,706
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2119
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,8
Standart normal tablo
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Cevap
P = 0,2119
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 2,727
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,05 + 4·0,1 + 5·0,3 = 2,85
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,05 + 16·0,1 + 25·0,3 = 10,85
Varyans
Var(X) = 10,85 − 2,85² = 2,727
Cevap
Var(X) = 2,727
6.Olasılık
Cevap: σY = 112,2
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 28, Var(X) = 126, σX = 11,22
Doğrusal değişim
σY = |10|·11,22 = 112,2
Cevap
σY = 112,2
Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·28 + 20 = 300.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,4938
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5
z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85
Aradaki alan
P = Φ(0,85) − Φ(−0,5) = 0,8023 − 0,3085 = 0,4938
Cevap
P = 0,4938
8.Normal dağılım
Cevap: x = 52,18 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
x’e geri dönüş
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 puan
Cevap
x = 52,18 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 6,988 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 10, t = 2,228
Hata payı
E = 2,228·2,4/√11 = 1,612
Aralık
8,6 ± 1,612 → [6,988, 10,21]
Cevap
alt sınır = 6,988 mmHg
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 693
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·8/0,5)² = 692,7
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 693
Cevap
n = 693
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,9067
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Test istatistiği
t = (118,3 − 120)/1,875 = −0,9067
Cevap
t = −0,9067
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −2,792
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 45/300 = 0,15
p̂₂ = 50/200 = 0,25
p̂ = 95/500 = 0,19
H₀ altında standart hata
SE = √(0,19·0,81·(1/300 + 1/200)) = 0,03581
Test istatistiği
z = (0,15 − 0,25)/0,03581 = −2,792
Cevap
z = −2,792
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,8489
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 340 − 15·118/5 = −14
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2812 − 118²/5 = 27,2
Korelasyon katsayısı
r = −14/√(10·27,2) = −0,8489
Cevap
r = −0,8489
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 4,45
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 329/5 = 65,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Regresyon doğrusu
b = 170/40 = 4,25
a = 65,8 − 4,25·6 = 40,3
ŷ = 40,3 + 4,25·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 40,3 + 4,25·5 = 61,55
Artık
e = 66 − 61,55 = 4,45
Cevap
e = 4,45
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 9,75
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
gündüz vardiyası: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48
gece vardiyası: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24
Ki-kare istatistiği
χ² = (27 − 36)²/36 + (39 − 36)²/36 + (54 − 48)²/48 + (27 − 18)²/18 + (15 − 18)²/18 + (18 − 24)²/24
χ² = 9,75
Cevap
χ² = 9,75
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 8
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 9 − 1 = 8
Cevap
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology