Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı uzak bir kasabaya televizyon gelmeden önce ve geldikten sonra çocukların saldırganlığını karşılaştırıyor. Araştırmacı televizyonun gelişini kontrol etmedi. Bu nedir?
- AAlan deneyi
- BLaboratuvar deneyi
- CTelevizyon izlemeye ilişkin korelasyonel anket
- DDoğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir "zekâ" testi esas olarak insanların ne kadar hızlı yazı yazabildiğini ölçüyor. En açık biçimde hangi geçerlik türü eksiktir?
- ADeğerlendiriciler arası güvenirlik
- BYapı geçerliği
- Cİç tutarlılık
- DTest-tekrar test güvenirliği
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 53, 50, 26, 41, 57, 48.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 109'ün üstündedir?
μ = 100σ = 15x = 109
P =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 6 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 6
P =
6.OlasılıkZor
7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,5 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 7p = 0,5
P =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,6517 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,6517
z =
8.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 148 h, bilinen standart sapma 6 h. Model 2: 50 telefon, ortalama 150 h, bilinen standart sapma 19 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 148 hσ₁ = 6 hn₂ = 50x̄₂ = 150 hσ₂ = 19 h99%
E = h
10.Güven aralıklarıZor
Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,1 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,01 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p ≈ 0,1E = 0,0195%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 6 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 118,98. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ ≠ 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 120σ = 6n = 144x̄ = 118,98H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 118,9. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 118,9σ = 5n = 10090%
U =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 20Σy = 244Σx² = 90Σy² = 12184Σxy = 1026
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 34) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(2,5, 34)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “personel, otobüs” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 81sütun toplamı = 68N = 168
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 8 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Doğal deney
Cevap neden bu
Doğal deneyde bağımsız değişken araştırmacının kontrolü dışındaki olaylar nedeniyle değişir. Ekolojik geçerlik yüksektir, ancak seçkisiz atama mümkün değildir.
Cevap
D · Doğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Yapı geçerliği
Cevap neden bu
Yapı geçerliği, bir ölçümün altta yatan yapıyı gerçekten yansıtıp yansıtmadığıdır. Bir test yanlış şeyi ölçerken güvenilir olabilir.
Cevap
B · Yapı geçerliği
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 11,09
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 275/6 = 45,83
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 7,167² + 4,167² + (−19,83)² + (−4,833)² + 11,17² + 2,167² = 614,8
Standart sapma
s = √(614,8/5) = 11,09
Cevap
s = 11,09
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2743
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Cevap
P = 0,2743
5.Olasılık
Cevap: P = 0,6651
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Cevap
P = 0,6651
6.Olasılık
Cevap: P = 0,0625
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
Toplayın
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
Cevap
P = 0,0625
7.Normal dağılım
Cevap: z = −0,39
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,6517 = 0,3483
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,3483 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −0,39
Cevap
z = −0,39
8.Normal dağılım
Cevap: x = 75,33 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
x’e geri dönüş
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 puan
Cevap
x = 75,33 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 7,092 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 148 − 150 = −2
Standart hata
SE = √(6²/100 + 19²/50) = 2,753
Hata payı
E = 2,576·2,753 = 7,092
Cevap
E = 7,092 h
Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 3458
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,96²·0,1·0,9/0,01² = 3457
Yukarı yuvarlayın
n = 3458
Cevap
n = 3458
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,04135
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (118,98 − 120)/0,5 = −2,04
Kuyruk alanı
Φ(2,04) = 0,9793
1 − Φ(2,04) = 0,0207
p-değeri
p = 2·0,0207 = 0,04135
Cevap
p = 0,04135
p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 119,7
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·5/√100 = 0,8225
Aralık sınırı
U = 118,9 + 0,8225 = 119,7
Cevap
U = 119,7
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9504
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1026 − 20·244/5 = 50
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 12184 − 244²/5 = 276,8
Korelasyon katsayısı
r = 50/√(10·276,8) = 0,9504
Cevap
r = 0,9504
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −4,65
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 203/5 = 40,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
Regresyon doğrusu
b = 39/10 = 3,9
a = 40,6 − 3,9·3 = 28,9
ŷ = 28,9 + 3,9·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 28,9 + 3,9·2,5 = 38,65
Artık
e = 34 − 38,65 = −4,65
Cevap
e = −4,65
Nokta doğrunun altındadır.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 32,79
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 81·68/168 = 32,79
Cevap
E = 32,79
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 16,81
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 8 − 1 − 1 = 6
Tablo
χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812
Cevap
χ²crit = 16,812
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology