Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı uzak bir kasabaya televizyon gelmeden önce ve geldikten sonra çocukların saldırganlığını karşılaştırıyor. Araştırmacı televizyonun gelişini kontrol etmedi. Bu nedir?
- ADoğal deney
- BAlan deneyi
- CTelevizyon izlemeye ilişkin korelasyonel anket
- DLaboratuvar deneyi
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir katılımcı bir ilaç veya şeker hapı alıyor ama hangisi olduğunu bilmiyor; araştırmacı ise biliyor. Bu hangi desendir ve hangi yanlılık hâlâ mümkündür?
- AAçık deneme; plasebo etkileri tamamen kontrol edilir
- BTek kör; deneyci yanlılığı hâlâ mümkündür
- CÇift kör; hiçbir yanlılık mümkün değildir
- DTek kör; talep özellikleri imkânsızdır
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 57, 28, 33, 10, 40, 28, 58.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 45'ün üstündedir?
μ = 60σ = 10x = 45
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,1, 0,25
σ =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X − 3
σY =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0139 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,0139
z =
8.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %5 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 40 h, bilinen standart sapma 5 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 49 h, bilinen standart sapma 5 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 80x̄₁ = 40 hσ₁ = 5 hn₂ = 80x̄₂ = 49 hσ₂ = 5 h99%
E = h
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 20E = 1,599%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
12 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,5 ve farkların standart sapması 2. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 12d̄ = 1,5sd = 2
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 201,5. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 201,5σ = 12n = 1699%
U =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 16 tahmin eder?
n = 6ŷ = 16
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2002 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 11 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
2 × 11
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Doğal deney
Cevap neden bu
Doğal deneyde bağımsız değişken araştırmacının kontrolü dışındaki olaylar nedeniyle değişir. Ekolojik geçerlik yüksektir, ancak seçkisiz atama mümkün değildir.
Cevap
A · Doğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Tek kör; deneyci yanlılığı hâlâ mümkündür
Cevap neden bu
Tek kör desende katılımcılar koşullarını bilmez; bu plasebo beklentilerini kontrol eder. Araştırmacının bilgisi sonuçları yine de etkileyebilir; bu yüzden çift kör desenler tercih edilir.
Cevap
B · Tek kör; deneyci yanlılığı hâlâ mümkündür
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 17,09
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 254/7 = 36,29
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 20,71² + (−8,286)² + (−3,286)² + (−26,29)² + 3,714² + (−8,286)² + 21,71² = 1753
Standart sapma
s = √(1753/6) = 17,09
Cevap
s = 17,09
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9332
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1,5
Standart normal tablo
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,526
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,1 + 5·0,25 = 2,85
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,1 + 25·0,25 = 10,45
Varyans
Var(X) = 10,45 − 2,85² = 2,327
σ = √2,327 = 1,526
Cevap
σ = 1,526
6.Olasılık
Cevap: σY = 1,609
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Doğrusal değişim
σY = |−2|·0,8047 = 1,609
Cevap
σY = 1,609
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·1,05 − 3 = −5,1.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 2,2
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,0139 = 0,9861
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9861 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,20
Cevap
z = 2,20
8.Normal dağılım
Cevap: x = 434 h
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,05
Tablodan z
z ≈ −1,64
Özgün birimlere geri dönüş
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Cevap
x = 434 h
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 2,037 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 40 − 49 = −9
Standart hata
SE = √(5²/80 + 5²/80) = 0,7906
Hata payı
E = 2,576·0,7906 = 2,037
Cevap
E = 2,037 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 1180
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·20/1,5)² = 1180
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 1180
Cevap
n = 1180
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,598
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 2/√12 = 0,5774
Test istatistiği
t = 1,5/0,5774 = 2,598
Cevap
t = 2,598
df = 11 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,201; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 209,2
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 2,576·12/√16 = 7,728
Aralık sınırı
U = 201,5 + 7,728 = 209,2
Cevap
U = 209,2
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,644
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 313/5 = 62,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 113,2
Belirlilik katsayısı
r² = 27²/(10·113,2) = 0,644
Cevap
r² = 0,644
y’deki değişimin yaklaşık %64,4’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 2,444
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 77/6 = 12,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5
Regresyon doğrusu
b = −52,5/17,5 = −3
a = 12,83 − (−3)·3,5 = 23,33
ŷ = 23,33 − 3·x
x için çözün
x = (16 − 23,33)/(−3) = 2,444
Cevap
x = 2,444
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 9,921
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
yeni ilaç: 120·60/200 = 36, 120·140/200 = 84
plasebo: 80·60/200 = 24, 80·140/200 = 56
Ki-kare istatistiği
χ² = (26 − 36)²/36 + (94 − 84)²/84 + (34 − 24)²/24 + (46 − 56)²/56
χ² = 9,921
Cevap
χ² = 9,921
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 10
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
Cevap
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology