Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Hangi desen her koşulda farklı katılımcılar kullanır?
- ABağımsız gruplar deseni
- BDenek içi desen
- CTekrarlı ölçümler deseni
- DAynı kişilerle eşleştirilmiş çiftler deseni
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı beş t testi yapıyor ve Bonferroni düzeltmesiyle toplam I. tip hata oranını 0,05'te tutmak istiyor. Her test hangi anlamlılık düzeyini kullanmalıdır?
- A0,025
- B0,05
- C0,01
- D0,25
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 20, 39, 56, 21, 58.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 66,25'ün üstündedir?
μ = 60σ = 5x = 66,25
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1
σ =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,1, 0,15, 0,25, 0,35Y = 3X − 3
σY =
7.Normal dağılımOrta
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 85,75 ile 115 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 115
P =
8.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
9.Güven aralıklarıOrta
100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 5,9. Aynı çalışma bunun yerine 200 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?
99%n₁ = 100E₁ = 5,9n₂ = 200
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 10 milin çaplarının örneklem standart sapması 1,5 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 9 ile χ² dağılımının %2,5’i 2,7 değerinin altında, %2,5’i 19,023 değerinin üstündedir.
n = 10s = 1,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 196,4, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 200x̄ = 196,4s = 20n = 25
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 20 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 73.5’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 73,5σ = 20n = 64α = 0,01
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (1,5, 24) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(1,5, 24)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1202 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 11 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Bağımsız gruplar deseni
Cevap neden bu
Bağımsız gruplar deseninde her koşulda farklı katılımcılar vardır; sıra etkilerinden kaçınılır ama katılımcı değişkenleri riski doğar.
Cevap
A · Bağımsız gruplar deseni
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · 0,01
Cevap neden bu
Bonferroni düzeltmesi α'yı karşılaştırma sayısına böler: 0,05 / 5 = 0,01. Basittir ama tutucudur; bu da II. tip hata riskini artırır.
Cevap
C · 0,01
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,27
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 194/5 = 38,8
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−18,8)² + 0,2² + 17,2² + (−17,8)² + 19,2² = 1335
Standart sapma
s = √(1335/4) = 18,27
Cevap
s = 18,27
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1056
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Cevap
P = 0,1056
5.Olasılık
Cevap: σ = 9,734
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,35 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,1 = 20,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,1 = 515
Varyans
Var(X) = 515 − 20,5² = 94,75
σ = √94,75 = 9,734
Cevap
σ = 9,734
6.Olasılık
Cevap: σY = 4,293
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,55, Var(X) = 2,048, σX = 1,431
Doğrusal değişim
σY = |3|·1,431 = 4,293
Cevap
σY = 4,293
Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·2,55 − 3 = 4,65.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6703
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Aradaki alan
P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703
Cevap
P = 0,6703
8.Normal dağılım
Cevap: x = 448,7 h
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
x’e geri dönüş
x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h
Cevap
x = 448,74 h
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 4,172
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071
Yeni hata payı
E₂ = 5,9·0,7071 = 4,172
Cevap
E₂ = 4,172
10.Güven aralıkları
Cevap: σ = 1,032 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 9·1,5² = 20,25
σ² için sınırlar
20,25/19,023 = 1,065
20,25/2,7 = 7,5
σ için sınır
σ = √1,065 = 1,032 µm
Cevap
σ = 1,032 µm
σ için %95 aralık: [1,032, 2,739] µm.
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,9
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Test istatistiği
t = (196,4 − 200)/4 = −0,9
Cevap
t = −0,9
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 60,8 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 80 − 2,326·2,5 = 74,19
Gerçek ortalama altında z
z = (74,19 − 73,5)/2,5 = 0,274
Güç
güç = P(Z < 0.274) = 60.8%
1 − β = 60,8%
Cevap
1 − β = 60,8%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,947
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38
Syy = Σ(y − ȳ)² = 92
Korelasyon katsayısı
r = −38/√(17,5·92) = −0,947
Cevap
r = −0,947
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 1,705
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 118/6 = 19,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Regresyon doğrusu
b = −23/17,5 = −1,314
a = 19,67 − (−1,314)·3,5 = 24,27
ŷ = 24,27 − 1,314·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 24,27 + (−1,314)·1,5 = 22,3
Artık
e = 24 − 22,3 = 1,705
Cevap
e = 1,705
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 1,484
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
yeni ilaç: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
plasebo: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14
Ki-kare istatistiği
χ² = (49 − 52)²/52 + (31 − 28)²/28 + (29 − 26)²/26 + (11 − 14)²/14
χ² = 1,484
Cevap
χ² = 1,484
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 23,21
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
Tablo
χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209
Cevap
χ²crit = 23,209
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology