Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta

50'lik bir ortalama için %95 güven aralığı 46 ile 54'tür. En doğru yorum hangisidir?

AÖrneklem ortalamasının 50 olma olasılığı %95'tir
BSonuç anlamlı değildir
CKullanılan yöntem, zamanın %95'inde gerçek ortalamayı içeren aralıklar üretir
DÖrneklemdeki bireysel katılımcıların %95'i ölçümde 46 ile 54 arasında puan aldı

2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor

Bir araştırmacı dondurma satışları ile boğulma ölümleri arasında pozitif korelasyon buluyor. En akla yatkın açıklama hangisidir?

AKorelasyon bir hesaplama hatası olmalıdır
BBoğulmalar dondurma satışlarını artırır
CDondurma boğulmaya neden olur
DSıcak hava hem dondurma satışlarını hem yüzmeyi artırır

3.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 55, 33, 34, 26, 21, 37.

n = 6

s =

4.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 72'ün üstündedir?

μ = 60σ = 8x = 72

P =

5.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,15, 0,05, 0,35

Var(X) =

6.OlasılıkZor

12 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,4 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,4

P =

7.Normal dağılımOrta

çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 150,6 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 150.6 kg

P =

8.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Güven aralıklarıOrta

36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 4. Aynı verilerden elde edilen %95 aralığın hata payı E₂ nedir?

99%n₁ = 36E₁ = 495%

E₂ =

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 28. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 28E = 0,595%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 80 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 59,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 12 mm. Hat 2: 50 parçalık bir örneklemin ortalaması 57,3 mm, bilinen standart sapması 17 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 80x̄₁ = 59,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 50x̄₂ = 57,3 mmσ₂ = 17 mm

z =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 10. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 80%δ = 1σ = 10z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 2,5

ŷ =

15.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 8 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

k = 8

df =

3Çözeltiler

1.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: C · Kullanılan yöntem, zamanın %95'inde gerçek ortalamayı içeren aralıklar üretir

Cevap neden bu

%95 GA, evren parametresi için akla yatkın değerlerin bir aralığını verir. Daha büyük örneklemlerden gelen daha dar aralıklar daha kesin tahminler demektir.

Cevap

C · Kullanılan yöntem, zamanın %95'inde gerçek ortalamayı içeren aralıklar üretir

2.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: D · Sıcak hava hem dondurma satışlarını hem yüzmeyi artırır

Cevap neden bu

Üçüncü bir değişken olan sıcaklık her ikisine de neden olur. Bu, korelasyonun tek başına nedenselliği gösteremeyeceğini örnekler.

Cevap

D · Sıcak hava hem dondurma satışlarını hem yüzmeyi artırır

3.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,69

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 206/6 = 34,33

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 20,67² + (−1,333)² + (−0,3333)² + (−8,333)² + (−13,33)² + 2,667² = 683,3

Standart sapma

s = √(683,3/5) = 11,69

Cevap

s = 11,69

4.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

5.Olasılık

Cevap: Var(X) = 2,16

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,05 + 4·0,35 = 2,2

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,05 + 16·0,35 = 7

Varyans

Var(X) = 7 − 2,2² = 2,16

Cevap

Var(X) = 2,16

6.Olasılık

Cevap: P = 0,01959

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,6¹² = 0,002177

P(X = 1) = 12·0,4·0,6¹¹ = 0,01741

Toplayın

P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959

Cevap

P = 0,01959

7.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6879

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Standartlaştırın

z = (150,6 − 150)/1,225 = 0,49

Olasılık

P = Φ(0,49) = 0,6879

Cevap

P = 0,6879

8.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7881

Farkın dağılımı

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

9.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,043

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/36) = 0,7609

Yeni hata payı

E₂ = 4·0,7609 = 3,043

Cevap

E₂ = 3,043

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 12048

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·28/0,5)² = 12047

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 12048

Cevap

n = 12048

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 0,7991

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(12²/80 + 17²/50) = √7,58 = 2,753

Test istatistiği

z = (59,5 − 57,3)/2,753 = 0,7991

Cevap

z = 0,7991

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 619

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 0,842)·10/1)² = 618,5

Yukarı yuvarlayın

n = 619

Cevap

n = 619

13.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,8535

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 79,2

Belirlilik katsayısı

r² = −26²/(10·79,2) = 0,8535

Cevap

r² = 0,8535

y’deki değişimin yaklaşık %85,35’ı doğru tarafından açıklanır.

14.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 37,6

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 195/5 = 39

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28

Regresyon doğrusu

b = 28/10 = 2,8

a = 39 − 2,8·3 = 30,6

ŷ = 30,6 + 2,8·x

Tahmin

ŷ = 30,6 + 2,8·2,5 = 37,6

Cevap

ŷ = 37,6

15.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 2,106

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

öğrenciler: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27

personel: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36

Ki-kare istatistiği

χ² = (7 − 9)²/9 + (22 − 24)²/24 + (31 − 27)²/27 + (14 − 12)²/12 + (34 − 32)²/32 + (32 − 36)²/36

χ² = 2,106

Cevap

χ² = 2,106

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

16.Ki-kare testleri

Cevap: df = 7

Serbestlik derecesi

df = 8 − 1 = 7

Cevap

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology