Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Ortalamanın standart hatası ne zaman küçülür?
- AÖrneklem büyüklüğü azaldığında
- BDeğişken sıralama düzeyinde ölçüldüğünde
- COrtalama arttığında
- DÖrneklem büyüklüğü arttığında
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir katılımcı bir ilaç veya şeker hapı alıyor ama hangisi olduğunu bilmiyor; araştırmacı ise biliyor. Bu hangi desendir ve hangi yanlılık hâlâ mümkündür?
- ATek kör; talep özellikleri imkânsızdır
- BAçık deneme; plasebo etkileri tamamen kontrol edilir
- CTek kör; deneyci yanlılığı hâlâ mümkündür
- DÇift kör; hiçbir yanlılık mümkün değildir
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 31, 10, 22, 29, 33.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 72 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 20x = 72
z =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,35, 0,25, 0,05
σ =
6.OlasılıkZor
8 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 8p = 0,2
P =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,8830 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,8830
z =
8.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %15 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
9.Güven aralıklarıOrta
13 birimlik bir örneklemin ortalaması 115,5 ve standart sapması s = 16. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 13x̄ = 115,5s = 1699%t(12) = 3,055
E =
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,01 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0199%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 100 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 6 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 100,8. H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 100σ = 6n = 36x̄ = 100,8H₁: μ > μ₀
p =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 16 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 76.6’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 76,6σ = 16n = 64α = 0,05
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 63) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(4,5, 63)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “öğrenciler, bisiklet” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 44sütun toplamı = 24N = 109
E =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 6 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Örneklem büyüklüğü arttığında
Cevap neden bu
Standart hata, örneklem ortalamalarının evren ortalaması çevresinde ne kadar değiştiğini tahmin eder. Daha büyük örneklemler daha kesin tahminler verir.
Cevap
D · Örneklem büyüklüğü arttığında
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Tek kör; deneyci yanlılığı hâlâ mümkündür
Cevap neden bu
Tek kör desende katılımcılar koşullarını bilmez; bu plasebo beklentilerini kontrol eder. Araştırmacının bilgisi sonuçları yine de etkileyebilir; bu yüzden çift kör desenler tercih edilir.
Cevap
C · Tek kör; deneyci yanlılığı hâlâ mümkündür
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 9,354
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 125/5 = 25
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 6² + (−15)² + (−3)² + 4² + 8² = 350
Standart sapma
s = √(350/4) = 9,354
Cevap
s = 9,354
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = 0,6
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (72 − 60)/20 = 0,6
Cevap
z = 0,6
5.Olasılık
Cevap: σ = 8,944
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,35 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,05 = 20
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,05 = 480
Varyans
Var(X) = 480 − 20² = 80
σ = √80 = 8,944
Cevap
σ = 8,944
6.Olasılık
Cevap: P = 0,5033
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,88 = 0,1678
P(X = 1) = 8·0,2·0,87 = 0,3355
Toplayın
P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033
Cevap
P = 0,5033
7.Normal dağılım
Cevap: z = −1,19
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,8830 = 0,1170
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,1170 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −1,19
Cevap
z = −1,19
8.Normal dağılım
Cevap: x = 255,2 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,85
Tablodan z
z ≈ 1,04
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Cevap
x = 255,2 g
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 13,56
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Hata payı
E = 3,055·16/√13 = 13,56
Cevap
E = 13,56
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589
Yukarı yuvarlayın
n = 16590
Cevap
n = 16590
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,2119
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (100,8 − 100)/1 = 0,8
Kuyruk alanı
Φ(0,8) = 0,7881
1 − Φ(0,8) = 0,2119
p-değeri
p = 0,2119
Cevap
p = 0,2119
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 52,19 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 80 − 1,645·2 = 76,71
Gerçek ortalama altında z
z = (76,71 − 76,6)/2 = 0,055
Güç
güç = P(Z < 0.055) = 52.19%
1 − β = 52,19%
Cevap
1 − β = 52,19%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9602
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 460/5 = 92
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1760
Belirlilik katsayısı
r² = 260²/(40·1760) = 0,9602
Cevap
r² = 0,9602
y’deki değişimin yaklaşık %96,02’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 1,933
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 340/6 = 56,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77
Regresyon doğrusu
b = 77/17,5 = 4,4
a = 56,67 − 4,4·3,5 = 41,27
ŷ = 41,27 + 4,4·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 41,27 + 4,4·4,5 = 61,07
Artık
e = 63 − 61,07 = 1,933
Cevap
e = 1,933
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 9,688
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 44·24/109 = 9,688
Cevap
E = 9,688
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 23,21
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
Tablo
χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209
Cevap
χ²crit = 23,209
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology