Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
İçerik analizinde değerlendiriciler arası güvenirlik nasıl kontrol edilir?
- AMateryalin bir günde iki kez kodlanmasıyla
- BKatılımcılara sonradan araştırmacının kendi materyalini yaptığı kodlamanın doğru olup olmadığının sorulmasıyla
- CDaha büyük bir materyal örneklemi kullanılmasıyla
- Dİki araştırmacının aynı materyali kodlaması ve sonuçların karşılaştırılmasıyla
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı üç ya da daha fazla grup ortalamasını karşılaştırıyor. Neden birkaç t testi yerine tek yönlü ANOVA kullanılır?
- At testleri nitel veri gerektirir
- BÇoklu t testleri genel I. tip hata oranını şişirir
- CANOVA, eşdeğer t testleri kümesinden her zaman daha büyük etkiler bulur
- Dt testleri 100'den büyük sayılarla çalışamaz
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 34, 60, 51, 37, 20.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 125'ün altındadır?
μ = 100σ = 20x = 125
P =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 8 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
8 / 5
P =
6.OlasılıkZor
12 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,6 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 12p = 0,6
P =
7.Normal dağılımOrta
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 246 ile 251,25 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 250σ = 5x1 = 246x2 = 251,25
P =
8.Normal dağılımZor
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
9.Güven aralıklarıOrta
16 birimlik bir örneklemin ortalaması 59 ve standart sapması s = 9. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 16x̄ = 59s = 990%t(15) = 1,753
E =
10.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 11 parsel, ortalama verim 13 kg, standart sapma 3,5 kg. Parsel grubu 2: 15 parsel, ortalama 19,5 kg, standart sapma 2,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 11x̄₁ = 13s₁ = 3,5n₂ = 15x̄₂ = 19,5s₂ = 2,599%t(24) = 2,797
üst sınır = kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 12 öğrenci, ortalama puan 59, standart sapma 8. Grup 2: 9 öğrenci, ortalama puan 67,8, standart sapma 2. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.
n₁ = 12x̄₁ = 59s₁ = 8n₂ = 9x̄₂ = 67,8s₂ = 2
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 79.4’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 79,4σ = 5n = 100α = 0,10
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 18,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 18,5
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 8 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · İki araştırmacının aynı materyali kodlaması ve sonuçların karşılaştırılmasıyla
Cevap neden bu
Bağımsız kodlayıcılar aynı veriler için benzer kodlar üretirse (yüksek uyum veya korelasyon), kodlama şeması güvenilirdir.
Cevap
D · İki araştırmacının aynı materyali kodlaması ve sonuçların karşılaştırılmasıyla
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Çoklu t testleri genel I. tip hata oranını şişirir
Cevap neden bu
Çok sayıda ikili test yapmak yanlış pozitif olasılığını katlar. ANOVA tüm grupları birlikte test eder ve ardından düzeltilmiş post hoc testler yapılır.
Cevap
B · Çoklu t testleri genel I. tip hata oranını şişirir
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,97
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 246/6 = 41
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 3² + (−7)² + 19² + 10² + (−4)² + (−21)² = 976
Standart sapma
s = √(976/5) = 13,97
Cevap
s = 13,97
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,8944
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Cevap
P = 0,8944
5.Olasılık
Cevap: P = 0,359
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359
Cevap
P = 0,359
6.Olasılık
Cevap: P = 0,0003188
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,412 = 1,678 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 12·0,6·0,411 = 0,000302
Toplayın
P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188
Cevap
P = 0,0003188
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,3869
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8
z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25
Aradaki alan
P = Φ(0,25) − Φ(−0,8) = 0,5987 − 0,2119 = 0,3869
Cevap
P = 0,3869
8.Normal dağılım
Cevap: x = 39,69 min
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
x’e geri dönüş
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Cevap
x = 39,69 min
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 3,944
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Hata payı
E = 1,753·9/√16 = 3,944
Cevap
E = 3,944
10.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = −3,216 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (10·3,5² + 14·2,5²)/24 = 8,75
sp = 2,958
Hata payı
E = 2,797·2,958·√(1/11 + 1/15) = 3,284
Aralık
−6,5 ± 3,284 → [−9,784, −3,216]
Cevap
üst sınır = −3,216 kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −3,206
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Birleştirilmiş varyans
sp² = (11·8² + 8·2²)/19 = 38,74
sp = 6,224
Standart hata
SE = 6,224·√(1/12 + 1/9) = 2,744
Test istatistiği
t = (59 − 67,8)/2,744 = −3,206
Cevap
t = −3,206
df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 46,73 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 80 − 1,282·0,5 = 79,36
Gerçek ortalama altında z
z = (79,36 − 79,4)/0,5 = −0,082
Güç
güç = P(Z < −0.082) = 46.73%
1 − β = 46,73%
Cevap
1 − β = 46,73%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9897
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 410/5 = 82
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1734
Belirlilik katsayısı
r² = 393²/(90·1734) = 0,9897
Cevap
r² = 0,9897
y’deki değişimin yaklaşık %98,97’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 34,15
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 317/6 = 52,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 490,5
Regresyon doğrusu
b = 490,5/157,5 = 3,114
a = 52,83 − 3,114·24,5 = −23,47
ŷ = −23,47 + 3,114·x
Tahmin
ŷ = −23,47 + 3,114·18,5 = 34,15
Cevap
ŷ = 34,15
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 1,625
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
öğrenciler: 80·36/120 = 24, 80·36/120 = 24, 80·48/120 = 32
personel: 40·36/120 = 12, 40·36/120 = 12, 40·48/120 = 16
Ki-kare istatistiği
χ² = (21 − 24)²/24 + (25 − 24)²/24 + (34 − 32)²/32 + (15 − 12)²/12 + (11 − 12)²/12 + (14 − 16)²/16
χ² = 1,625
Cevap
χ² = 1,625
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 16,81
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 8 − 1 − 1 = 6
Tablo
χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812
Cevap
χ²crit = 16,812
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology