Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Kesitsel bir çalışma 20, 40 ve 60 yaşındakileri aynı anda teknoloji kullanımı bakımından karşılaştırıyor. Yaş karşılaştırmasını hangi sorun karıştırabilir?
- AAlıştırma etkileri
- BTaban etkileri
- CSıra etkileri
- DKuşak (kohort) etkileri
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Sıralı bir ölçekte öncesi-sonrası puanları gibi iki ilişkili örneklemi karşılaştıran parametrik olmayan test hangisidir?
- AMann-Whitney U testi
- BBağımsız örneklemler t testi
- CKi-kare bağımsızlık testi
- DWilcoxon işaretli sıralar testi
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 19, 11, 33, 10, 13.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 52,5'ün üstündedir?
μ = 60σ = 15x = 52,5
P =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
4 / 5
P =
6.OlasılıkZor
9 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,25 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 9p = 0,25
P =
7.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 4 tanesinin toplam kütlesinin 328 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 328 kg
P =
8.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).
μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
9.Güven aralıklarıOrta
10 birimlik bir örneklemin ortalaması 51,5 ve standart sapması s = 12,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 10x̄ = 51,5s = 12,599%t(9) = 3,25
E =
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,01 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0199%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 126,8, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 120x̄ = 126,8s = 20n = 25
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 18’i, B tedavisi alan 250 hastadan 53’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 18n₁ = 120x₂ = 53n₂ = 250
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 6 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 6
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gündüz vardiyası, küçük kusur” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 85sütun toplamı = 60N = 156
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 10 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Kuşak (kohort) etkileri
Cevap neden bu
Farklı yaş grupları farklı tarihsel koşullarda yetişti; bu yüzden farklar yaşlanmanın kendisini değil kuşağı yansıtıyor olabilir.
Cevap
D · Kuşak (kohort) etkileri
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Wilcoxon işaretli sıralar testi
Cevap neden bu
Wilcoxon işaretli sıralar testi eşleştirilmiş sıralı veriler içindir; Mann-Whitney U testi bağımsız gruplar için karşılığıdır.
Cevap
D · Wilcoxon işaretli sıralar testi
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 9,497
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 86/5 = 17,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 1,8² + (−6,2)² + 15,8² + (−7,2)² + (−4,2)² = 360,8
Standart sapma
s = √(360,8/4) = 9,497
Cevap
s = 9,497
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,6915
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,5
Standart normal tablo
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
5.Olasılık
Cevap: P = 0,1667
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667
Cevap
P = 0,1667
6.Olasılık
Cevap: P = 0,3003
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,759 = 0,07508
P(X = 1) = 9·0,25·0,758 = 0,2253
Toplayın
P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003
Cevap
P = 0,3003
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6915
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg
Standartlaştırın
z = (328 − 340)/24 = −0,5
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
8.Normal dağılım
Cevap: x = 578,4 h
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
x’e geri dönüş
x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h
Cevap
x = 578,4 h
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 12,85
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Hata payı
E = 3,25·12,5/√10 = 12,85
Cevap
E = 12,85
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589
Yukarı yuvarlayın
n = 16590
Cevap
n = 16590
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,7
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Test istatistiği
t = (126,8 − 120)/4 = 1,7
Cevap
t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −1,418
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 18/120 = 0,15
p̂₂ = 53/250 = 0,212
p̂ = 71/370 = 0,1919
H₀ altında standart hata
SE = √(0,1919·0,8081·(1/120 + 1/250)) = 0,04373
Test istatistiği
z = (0,15 − 0,212)/0,04373 = −1,418
Cevap
z = −1,418
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9769
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 466/6 = 77,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 603
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2363
Belirlilik katsayısı
r² = 603²/(157,5·2363) = 0,9769
Cevap
r² = 0,9769
y’deki değişimin yaklaşık %97,69’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 72,55
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 335/5 = 67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222
Regresyon doğrusu
b = 222/40 = 5,55
a = 67 − 5,55·5 = 39,25
ŷ = 39,25 + 5,55·x
Tahmin
ŷ = 39,25 + 5,55·6 = 72,55
Cevap
ŷ = 72,55
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 32,69
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 85·60/156 = 32,69
Cevap
E = 32,69
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 16,92
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 10 − 1 = 9
Tablo
χ²crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919
Cevap
χ²crit = 16,919
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology