Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Talep özellikleri (demand characteristics) nedir?
- AÖrneklemin özellikleri
- BBir etik kurulun, bir çalışma başlamadan önce ileri sürdüğü resmî talepler
- CKatılımcıların amacı tahmin edip davranışlarını değiştirmelerine yol açan ipuçları
- DBir testin istatistiksel gereklilikleri
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı yeni bir öğretim yönteminin daha iyi notlara neden olup olmadığını test etmek istiyor, ama öğrencileri seçkisiz atayamıyor. Bu durumda hangi desen en güçlü nedensel kanıtı verir?
- AÖğrencilere yöntemin işe yarayıp yaramadığını düşündüklerini sormak
- BBir karşılaştırma grubuyla, önce ve sonra ölçülen eşleştirilmiş sınıfları karşılaştırmak
- CYalnızca yeni yöntemi kullanan sınıfı öğretimden sonra ölçmek
- DNotları öğrencilerin öğretmeni ne kadar sevdiğiyle ilişkilendirmek
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 38, 18, 22, 58, 10.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 590'ün üstündedir?
μ = 500σ = 60x = 590
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,25, 0,1, 0,35
Var(X) =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1Y = 10X − 3
σY =
7.Normal dağılımOrta
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 452 ile 520 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 500σ = 40x1 = 452x2 = 520
P =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 57 h, bilinen standart sapma 13 h. Model 2: 50 telefon, ortalama 67,5 h, bilinen standart sapma 5 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 57 hσ₁ = 13 hn₂ = 50x̄₂ = 67,5 hσ₂ = 5 h90%
E = h
10.Güven aralıklarıZor
Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,7 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p ≈ 0,7E = 0,0399%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 101,8, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 100x̄ = 101,8s = 15n = 36
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 300 hastadan 45’i, B tedavisi alan 80 hastadan 7’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 7n₂ = 80
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 135Σy = 417Σx² = 3195Σy² = 31571Σxy = 10017
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2, 38) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(2, 38)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “kırsal, düşük” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 107sütun toplamı = 77N = 190
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 6 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Katılımcıların amacı tahmin edip davranışlarını değiştirmelerine yol açan ipuçları
Cevap neden bu
Katılımcılar hipotezi anlarsa onu doğrulamak ya da baltalamak için davranabilir; bu da geçerliği tehdit eder. Aldatma ve kör yöntemler bunu azaltır.
Cevap
C · Katılımcıların amacı tahmin edip davranışlarını değiştirmelerine yol açan ipuçları
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Bir karşılaştırma grubuyla, önce ve sonra ölçülen eşleştirilmiş sınıfları karşılaştırmak
Cevap neden bu
Denk olmayan gruplarla ön test-son test deseni başlangıç farklarını ve zaman içindeki değişimi kontrol eder; ancak seçkisiz bir deneyden daha zayıftır.
Cevap
B · Bir karşılaştırma grubuyla, önce ve sonra ölçülen eşleştirilmiş sınıfları karşılaştırmak
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,06
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 146/5 = 29,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 8,8² + (−11,2)² + (−7,2)² + 28,8² + (−19,2)² = 1453
Standart sapma
s = √(1453/4) = 19,06
Cevap
s = 19,06
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,06681
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 2,127
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,15 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,1 + 5·0,35 = 3,35
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,1 + 25·0,35 = 13,35
Varyans
Var(X) = 13,35 − 3,35² = 2,127
Cevap
Var(X) = 2,127
6.Olasılık
Cevap: σY = 9,798
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,2, Var(X) = 0,96, σX = 0,9798
Doğrusal değişim
σY = |10|·0,9798 = 9,798
Cevap
σY = 9,798
Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·2,2 − 3 = 19.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,5764
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2
z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5
Aradaki alan
P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764
Cevap
P = 0,5764
8.Normal dağılım
Cevap: x = 52,18 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
x’e geri dönüş
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 puan
Cevap
x = 52,18 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 2,996 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 57 − 67,5 = −10,5
Standart hata
SE = √(13²/60 + 5²/50) = 1,821
Hata payı
E = 1,645·1,821 = 2,996
Cevap
E = 2,996 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 1549
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,7·0,3/0,03² = 1548
Yukarı yuvarlayın
n = 1549
Cevap
n = 1549
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 0,72
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Test istatistiği
t = (101,8 − 100)/2,5 = 0,72
Cevap
t = 0,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 1,445
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 45/300 = 0,15
p̂₂ = 7/80 = 0,0875
p̂ = 52/380 = 0,1368
H₀ altında standart hata
SE = √(0,1368·0,8632·(1/300 + 1/80)) = 0,04325
Test istatistiği
z = (0,15 − 0,0875)/0,04325 = 1,445
Cevap
z = 1,445
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9935
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 10017 − 135·417/6 = 634,5
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157,5
Syy = 31571 − 417²/6 = 2590
Korelasyon katsayısı
r = 634,5/√(157,5·2590) = 0,9935
Cevap
r = 0,9935
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −1,881
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 361/6 = 60,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 355
Regresyon doğrusu
b = 355/70 = 5,071
a = 60,17 − 5,071·6 = 29,74
ŷ = 29,74 + 5,071·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 29,74 + 5,071·2 = 39,88
Artık
e = 38 − 39,88 = −1,881
Cevap
e = −1,881
Nokta doğrunun altındadır.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 43,36
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 107·77/190 = 43,36
Cevap
E = 43,36
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 15,09
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 6 − 1 = 5
Tablo
χ²crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086
Cevap
χ²crit = 15,086
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology